eine Differentialgleichung (Chemie/Physik) und ihre Lösung

17.10.2014, 19:37	Knud	Auf diesen Beitrag antworten »
eine Differentialgleichung (Chemie/Physik) und ihre Lösung Meine Frage: Hallo mein edler Retter! Die Angabe: Bei chemischen Reaktionen ändert sich die Konzentration, [A] eines Stoffes, A, in Abhängigkeit der Zeit, t. Im Fall einer unimolekularen Reaktion (Reaktion 1. Ordnung) lässt sich die Änderung der Konzentration [A] mit einer einfachen Differentialgleichung beschreiben. $\begin{eqnarray} \frac{d[A]}{dt} = -k [A] \end{eqnarray}$ Der Proportionalitätsfaktor k heißt Reaktionskonstante. Die Reaktionskonstante ist bestimmend für die Reaktionsgeschwindigkeit. Berechnen Sie die Konzentration als Funktion der Zeit, [A](t). Also ist das gegeben: $\begin{eqnarray} \frac{d[A]}{dt} = -k [A] \end{eqnarray}$ gesucht: [A] als Funktion der Zeit also [A](t) Die Lösung: Gut die Lösung habe ich auch, aber sie ist nicht von mir und ich versteh nicht was die da machen. Der erste Lösungschritt ist eine einfache Umformung um dt auf die eine Seite zu bringen, jedoch d[A] und [A] auf die andere: $\begin{eqnarray} \frac{d[A]}{[A]} = -k dt \end{eqnarray}$ Das versteh ich noch. Aber jetzt kommt's: -siehe Anhang- [attach]35734[/attach] mit $\begin{eqnarray} [A]_{0} \end{eqnarray}$ ist wohl [A] zum Zeitpunkt t = 0 gemeint, also [A](0) Das Bestimmte Integral verwirrt mich: Warum kein Unbestimmtes? Was sollen die Integrationsgrenzen auf der linken Sete? Das sind doch Funktionwswerte? Was wird da eigentlich gemacht? Auf was muss jemand achten der so etwas tut? Es sieht aus, als würden die verschiedene Sachen auf den Seiten der Gleichung machen - Wann darf man denn sowas? Plötzlich fangen die an [A](t) zu schreiben und nicht mehr nur [A]. Hast du eine Idee warum die erst jetzt damit anfangen? Dann kommt das: ln[A](t) - $\begin{eqnarray} ln[A]_{0} \end{eqnarray}$ = -kt Also bis hierhin hab ich es nicht verstanden. Da hätt ich noch eine Bitte: Ich finde keine Anleitung wie am ein bestimmtes Integral so allgemein wie hier ausrechnet. Ich will wissen was es mit dem Senkrechten Strich auf sich hat, bzw. mit Eckigen Klammern neben denen Integrationsgrenzen stehen. Kennst du da einen Link für mich? Ich fasse meine wichtigeren Fragen/Bitten zusammen: - Bitte zeig mit den Rechenweg. - Wie heißen die Sachen die du da machst? (Habe ich Bezeichnungen kann ich auch nachsehen und daraus lernen.) - Warum ein bestimmtes Integral? - Welch Fläche berrechnet man, wenn man als Integrationswerte Funktionwerte verwendet? (Mein geistiges Koordinatensystem ist irgendwie ... umgekippt.) Übrigens ist das dass Ergebnis: $\begin{eqnarray} [A](t) = [A]_{0} \cdot e^{-k t} \end{eqnarray}$ Aber diesen letzten Schritt versteh auch ich. Bitte hilf mir, Knud. Meine Ideen: Leider habe ich keine eigenen Ansätze. Es fehlt mit an Orientierung. Ich brauche umso dringender Hilfe. Zum letzten Schritt: Man Addiert zu beiden Seiten + ln[A]0 Dann stellt man auf beiden Seiten auf hoch auf ein eulersche Zahl e Links hebt sich das dann auf und es kommt [A](t) raus und rechts zerteilt man die Sache gemäß folgender Formel: $\begin{eqnarray} x^{a + b} = x^{a} \cdot x^{b} \end{eqnarray}$ und dann hebt sich einmal e hoch logartithmus naturalis auf und schon haben wir das ergebnis.
17.10.2014, 21:55	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: eine Differentialgleichung (Chemie/Physik) und ihre Lösung Guten Abend, eine Vorbemerkung: Ich habe von Chemie keine Ahnung - ich kann Dir nur zeigen, was bei Deinem Beispiel gerechnet worden ist: 1. Du musst dieses Grundintegral kennen: $\begin{eqnarray} \int\left(\frac1x\right)dx = \ln(\|x\|)+C \end{eqnarray}$ und diese Logarithmusgleichung: $\begin{eqnarray} e^{\ln(x)} = x \end{eqnarray}$ (s.u. bei 7.) 2. Ausgehend von dieser Gleichung: $\begin{eqnarray} \frac{d[A]}{[A]} = -k dt \end{eqnarray}$ folgt $\begin{eqnarray} \left(\frac{1}{[A]}\right) \cdot d[A]= -k dt \end{eqnarray}$ Du erkennst sicherlich Ähnlichkeiten mit der Gleichung bei 1. 3. Es soll die Konzentration über den gesamten Prozess - von A(0) bis zum Zeitpunkt t, d.h. A(t) - berechnet werden. Dazu wird auf beiden Seiten integriert: $\begin{eqnarray} \int \limits_{A(0)}^{A(t)} \left(\frac{1}{[A]}\right) \cdot d[A] = \int \limits_0^t(-k \cdot t) dt \end{eqnarray}$ 4. Stammfunktionen berechnen und die Integrationsgrenzen bei den eckigen Klammern anhängen: $\begin{eqnarray} \left[\ln([A])\right]_{A(0)}^{A(t)} = [-k \cdot t]_0^t \end{eqnarray}$ 5. Jetzt gemäß des Fundamentalsatzes der Integralrechnung die Grenzen einsetzen und die Ergebnisse subtrahieren: $\begin{eqnarray} \ln(A(t))-\ln(A(0)) = -k\cdot t - 0 \end{eqnarray}$ 6. Um die Logarithmen loszuwerden wird auf beiden Seiten die Basis e eingeführt: $\begin{eqnarray} e^{\ln(A(t))-\ln(A(0))} = e^{-k\cdot t} \end{eqnarray}$ 7. Umformen gemäß Potenzrechengesetze: $\begin{eqnarray} \frac{A(t)}{A(0)} = e^{-k\cdot t} \end{eqnarray}$ 8. Mit dem Nenner multiplizieren: $\begin{eqnarray} A(t)=A(0) \cdot e^{-k\cdot t} \end{eqnarray}$ 9. Wenn noch Fragen: frage! (Aber bitte erst morgen, ich bin gleich nicht mehr online) ... ach übrigens: Darf es auch eine Retterin sein?
24.10.2014, 12:24	Knud	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Du hast mir wirklich geholfen! Und natürlich ist mir eine Retterin genau so lieb! (Übrigens: Schicker Helm!)

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