Invertierbarkeit prüfen

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18.10.2014, 11:13	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Invertierbarkeit prüfen Ist A invertierbar? Falls nicht bestimme den Kern $\begin{eqnarray} A: BC^1(\mathbb{R}) \to BC^0(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} BC^1(\mathbb{R}) \ \end{eqnarray}$ der Raum der einmal stetig diffbaren Funktionen ist und $\begin{eqnarray} BC^0(\mathbb{R}) \ \end{eqnarray}$ analog definiert ist. $\begin{eqnarray} (Af)(x) = f'(x) \end{eqnarray}$ Ich weiß nicht wie ich anfangen soll aus der linearen Algebra weiß ich, wie man eine lineare Abbildung auf invertierbarkeit prüft. Hier habe ich aber keine Ahnung was für Basen ich wählen soll
18.10.2014, 11:19	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Invertierbarkeit prüfen Untersuche den Kern von A. Dafür brauchst du keine Basis.
18.10.2014, 11:31	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Dafür müsste ich untersuchen welche einmal stetig diffbare Funktion eine Ableitung bestitz welche der funktion f(x) = 0 entspricht. Dies sind alle Funktionen mit $\begin{eqnarray} f(x) = c \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c\in\mathbb{R} \end{eqnarray}$ ,da $\begin{eqnarray} f'(x) = 0 \end{eqnarray}$ gilt. Aber weil $\begin{eqnarray} f(x) = c \end{eqnarray}$ unendlich oft stetig diffbar ist liegt $\begin{eqnarray} f(x) = c \end{eqnarray}$ nicht in $\begin{eqnarray} BC^1(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ und somit ist der Kern leer sprich A ist invertierbar korrekt?
18.10.2014, 11:35	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionen in $\begin{eqnarray} BC^1(\mathbb{R}) \end{eqnarray}$ sind mindestens einmal stetig differenzierbar.
18.10.2014, 11:56	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Okey dann kann ich ja einfach sagen $\begin{eqnarray} f(x) = c \end{eqnarray}$ liegt in Ker(A) somit ist der Kern nicht leer und A ist nicht invertierbar
18.10.2014, 11:57	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau
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18.10.2014, 14:18	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe noch eine weitere Frage und zwar soll ich zeigen dass A ein beschränkte lineare Operator ist. Die liniarität ist nicht schwer zu zeigen bloß bei der Beschränktheit da hapert es ein wenig. Ich weiß das ist das hier zeigen muss aber wie? ich habe keine Ahnung was $\begin{eqnarray} \|\|Ax\|\|_y \end{eqnarray}$ ist $\begin{eqnarray} \infty > \|\|A\|\| = sup_{x \neq 0} \frac{\|\|Ax\|\|_y}{\|\|x\|\|_x} = sup_{\|\|x\|\| = 1} \|\|Ax\|\|_y \end{eqnarray}$
18.10.2014, 20:10	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist vermutlich die Notation des allgemeinen Falles einer linearen Abbildung $\begin{align} A:X\to Y \end{align}$ mit normierten Räumen $\begin{align} (X,\\|\cdot\\|_X) \end{align}$ und $\begin{align} (Y,\\|\cdot\\|_Y) \end{align}$ . Dann ist $\begin{align} \\|A\\|=\sup_{x\neq 0}\frac{\\|Ax\\|_Y}{\\|x\\|_X} \end{align}$ . Jetzt musst du feststellen, was hier X und Y sind und mit welchen Normen diese Vektorräume ausgestattet sind.
19.10.2014, 11:41	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ist der $\begin{eqnarray} BC^1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ ist der $\begin{eqnarray} BC^0 \end{eqnarray}$ Normen sind jeweils die Supremumsnorm
19.10.2014, 11:52	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Was genau meinst du mit Supremumsnorm in $\begin{align} BC^1 \end{align}$ ?
19.10.2014, 12:17	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (BC^1,\\|\cdot\\|_\infty) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (BC^0,\\|\cdot\\|_\infty) \end{eqnarray}$ So mein ich das, was ist daran so verwunderlich?
19.10.2014, 12:20	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass ich dir hier schon sagte, was die Norm auf $\begin{align} BC^1 \end{align}$ ist
19.10.2014, 12:30	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Auch was das B in der Bezeichnung macht, wurde scheinbar vergessen. Wozu antwortet man denn eigentlich, wenn das, was vom Fragenden mitgenommen wird, dann exakt garnichts ist.
19.10.2014, 12:31	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
ups, hab ich vergessen. Okey wenn ich das alles jetzt weiß wie fang ich dann an?
19.10.2014, 12:37	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest zu Abwechslung mal selbst etwas tun Schreib das $\begin{align} \\|A\\|=\sup_{x\neq 0}\frac{\\|Ax\\|_Y}{\\|x\\|_X} \end{align}$ mit deinen Normen auf
19.10.2014, 12:49	Shiby	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \\|A\\|=\sup_{x\neq 0}\frac{\\|Ax\\|_Y}{\\|x\\|_X} = \sup_{x\neq 0}\frac{\\|Ax\\|_Y}{\|\|f\|\|_\infty + \|\|f'\|\|_\infty} \end{eqnarray}$ Wie sieht eigentlich die Norm im $\begin{eqnarray} BC^0 \end{eqnarray}$ aus? Die könnte ich doch dann oben einsetzen oder?
19.10.2014, 12:51	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Lies deine eigenen posts! @Nofeykx: Ich ahnte ja nicht, wie recht du hier hast

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