Funktionsausdruck bestimmen

18.10.2014, 13:32	ME93	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktionsausdruck bestimmen Meine Frage: Man bestimme den jeweiligen Funktionsausdruck oder den Verlauf der Funktion f(x) = max $\begin{eqnarray} \left\{x² + x + 1, 3x + 4 \right\} \end{eqnarray}$ (das heißt übrigens nicht 1,3x - Latex formatiert es nur so. Das Komma trennt die beiden Funktionen voneinander) Meine Ideen: Ich habe versucht, dem Muster der Beispielaufgabe zu folgen, die im Skript gerechnet wurde: Wenn x² + x + 1 der "max-Ausdruck" ist, dann muss gelten: x² + x + 1 $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 3x + 4 beziehungsweise (wenn man x² + x + 1 - 3x + 4 rechnet) x² - 2x - 3 $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 0 Dieser Ausdruck lässt sich faktorisieren, so dass gilt: x² - 2x - 3 = (x - 4) (x + 2) - 1 $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 0 An dieser Stelle stellt sich mir bereits die Frage, ob es eine einfache Möglichkeit gibt, den Ausdruck zu faktorisieren. Ich habe es nun im Kopf durchgehen müssen, das dauert aber ziemlich lange. Gibt es da einen Trick? Auch weiß ich nicht, ob das, was im Folgenden geschrieben steht, Sinn ergibt. (x - 4) (x + 2) - 1 $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 0 <=> (x - 4) (x + 2) $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 1 Daraus folgt dann: f(x) = max $\begin{eqnarray} \left\{x² + x + 1, 3x + 4 \right\} \end{eqnarray}$ = x² + x + 1 falls x $\begin{eqnarray} \geq \end{eqnarray}$ 4 3x + 4 falls - 2 $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ x $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 4 x² + x + 1 falls x $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ -2 Und an dieser Stelle weiß ich dann schon gar nicht mehr, ob irgendtwas davon richtig ist. Ich hoffe, ihr könnt mir auf die Sprünge helfen. ;-)
18.10.2014, 16:19	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Faktorisierung ist leider falsch. $\begin{eqnarray} x² - 2x - 3 \neq (x - 4) (x + 2) - 1 \end{eqnarray}$ Nutze entweder den Satz von Vieta oder berechne die Nullstellen von $\begin{eqnarray} x² - 2x - 3 \end{eqnarray}$ mittels pq-Formel, um die richtigen Linearfaktoren zu bestimmen.
18.10.2014, 16:58	ME93	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für deine Antwort! Ich habe die pq-Formel sogleich angewandt - und bin beinahe mit dem Ergebnis zufrieden. Ich habe folgende Ergebnisse: x1 = 3 x2 = - 1 Hier muss sich aber irgendwo ein Vorzeichen-Fehler eingeschlichen haben. Faktorisiert bedeutet dieser Ausdruck: (x + 3) (x - 1) Das würde umgewandelt aber x² + 2x - 3 bedeuten. Richtig wäre: x² - 2x - 3. Das wiederum würde ich durch die beiden Werte x1 = - 3 x2 = 1 erreichen. Wo ist mein Denkfehler?
18.10.2014, 17:08	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn Du die Nullstellen in die Faktorisierung einsetzt, muss logischer Weise Null herauskommen. Tut es das, wenn Du (x+3)(x-1) betrachtest? Ein Produkt ist genau dann Null, wenn ....
18.10.2014, 17:33	ME93	Auf diesen Beitrag antworten »
Oweh, nun verwirrst du mich aber. ;-) Im Falle von x1 = - 3 ^ x2 = 1 würde bei der Faktorisierung (x + 1) (x - 3) doch auch keine Null als Ergebnis heraus kommen. Dennoch ist (x + 1) (x - 3) der Ausdruck, der alternativ für x² - 2x - 3 steht.
18.10.2014, 18:44	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich, denn wenn Du x=-3 in deine Faktorisierung einsetzt, kommt $\begin{eqnarray} (-3+1)(-3-3)=12\neq 0 \end{eqnarray}$ heraus, was aber bei deiner Nullstelle der Fall sein müsste. Kurzum: Die Faktorisierung stimmt nicht. Wenn Du mit der Nullstelle -3 einen Linearfaktor Null erzeugen willst, geht das nur mit (x+3). Du hattest aber die Nullstellen bei 3 und -1 richtig bestimmt gehabt. Wie lautet also die korrekte Faktorisierung?
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19.10.2014, 13:02	ME93	Auf diesen Beitrag antworten »
Nun, dann müsste die korrekte Faktorisierung (x + 3) (x - 1) lauten. Aber wenn ich diesen Ausdruck ausmultipliziere, dann komme ich auf (x + 3) (x - 1) = (x * x) + (x * - 1) + (3 * x) + (3 * - 1) = x² - 1x + 3x - 3 = x² + 2x - 3 $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ x² - 2x - 3 (der Term, zu dem ich ja eigentlich gelangen will)

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