L-Messbarkeit von Funktionen

18.10.2014, 18:32

daLoisl

L-Messbarkeit von Funktionen

Guten Tag,

ich habe gerade Schwierigkeiten bei folgendem Beispiel:

Seien x, y $\begin{eqnarray*} \mathcal{L} \end{eqnarray*}$ -messbare Funktionen.
Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} <br /> \{ w : x(w) \le y(w) \} \in \mathcal{L}<br /> \{ w : x(w) < y(w) \} \in \mathcal{L}<br /> \{ x = y \} \in \mathcal{L}<br /> \end{eqnarray*}$

Die relevanten Definitionen:
$\begin{eqnarray*} \mathcal{L} := \{ A \subseteq [0,1] : \lambda_*(A) = \lambda^*(A) \} \end{eqnarray*}$ (also die Menge der Teilmengen mit gleichem äußeren wie inneren Maß)

$\begin{eqnarray*} x : [0,1] \to \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ heißt $\begin{eqnarray*} \mathcal L \end{eqnarray*}$ -messbar, wenn gilt:
$\begin{eqnarray*} \forall a, b \in \mathbb{R} \cup \{\pm \infty\} : x^{-1}([a,b]) \in \mathcal{L} \end{eqnarray*}$ (die Intervalle dürfen auch offen sein)

Zu zeigen ist also, dass für die beschriebenen Mengen jeweils das äußere und dass innere Maß gleich sind.
Mein Problem dabei ist, dass ich nicht weiß, wie ich die Information über x und y verwerten kann. Falls sie stetig wären, wären die beschriebenen Mengen wohl Vereinigungen von Intervallen, aber das weiß ich ja nicht... verwirrt

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Vielen Dank,
daLoisl

18.10.2014, 19:31

Che Netzer

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RE: L-Messbarkeit von Funktionen

Zitat:

Original von daLoisl
Zu zeigen ist also, dass für die beschriebenen Mengen jeweils das äußere und dass innere Maß gleich sind.

Das macht man aber nicht direkt. Vergiss den Begriff "Maß" für diese Aufgabe und konzentrier dich nur auf "messbar". Aus der Messbarkeit der Funktionen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ sollst du nun die Messbarkeit der genannten Mengen herleiten.

Zitat:

Mein Problem dabei ist, dass ich nicht weiß, wie ich die Information über x und y verwerten kann.

Wisst ihr denn schon, dass Differenzen messbarer Funktionen wieder messbar sind?

19.10.2014, 09:28

daLoisl

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Abgesehen von dieser Definition haben wir noch nichts über messbare Funktionen gemacht.

Ich müsste wohl eine messbare Funktion basteln, für die die gegebene Menge das Urbild eines Intervalls ist. Doch wie geht man das an?

19.10.2014, 09:38

Che Netzer

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Zitat:

Original von daLoisl
Abgesehen von dieser Definition haben wir noch nichts über messbare Funktionen gemacht.

Aber dass stetige Funktionen messbar sind, weißt du vermutlich schon: Urbilder von abgeschlossenen (offenen) Intervallen sind wieder abgeschlossen (offen) und damit auch wieder messbar.

Zitat:

Ich müsste wohl eine messbare Funktion basteln, für die die gegebene Menge das Urbild eines Intervalls ist. Doch wie geht man das an?

Das wäre halt die Funktion $\begin{eqnarray*} y-x \end{eqnarray*}$ . Wenn deren Messbarkeit noch nicht bewiesen ist, kannst du das schnell tun. Habt ihr Messbarkeit auch für Abbildungen mit Werten in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ definiert?

19.10.2014, 12:01

daLoisl

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Leider haben wir Messbarkeit in $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ nicht definiert. Sonst würde der Beweis vermutlich in etwa so funktionieren:
$\begin{eqnarray*} z: \mathbb R^2 \to \mathbb R, z(u,v) := v - u \end{eqnarray*}$ ist stetig.
$\begin{eqnarray*} f: [0,1]^2 \to \mathbb R^2, f(u,v) := (x(u),y(v)) \end{eqnarray*}$ ist messbar.

$\begin{eqnarray*} (z \circ f)^{-1}([a,b)) = f^{-1}(z^{-1}([a,b))) \end{eqnarray*}$

Wegen der Eigenschaften von stetigen Funktionen würde dann die Behauptung folgen.

Zitat:

Das wäre halt die Funktion $\begin{eqnarray*} y-x \end{eqnarray*}$ .

Warum eigentlich? Könntest du mir das bitte ein wenig näher erläutern.

Vielen Dank jedenfalls für die Hilfe.

19.10.2014, 12:10

Che Netzer

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Zitat:

Original von daLoisl
Wegen der Eigenschaften von stetigen Funktionen würde dann die Behauptung folgen.

Genau.

Zitat:

Warum eigentlich? Könntest du mir das bitte ein wenig näher erläutern.

Was ist denn das Urbild von $\begin{eqnarray*} [0,\infty) \end{eqnarray*}$ unter dieser Funktion?

Aber gut, ohne weitere Aussagen über messbare Funktionen müssen wir die Behauptung wohl leider doch direkt nachweisen.
Der neue Tipp ist also:
Es gilt genau dann $\begin{eqnarray*} f(\omega)<g(\omega) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , falls es ein $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\omega)<q<g(\omega) \end{eqnarray*}$ gibt.

20.10.2014, 18:19

daLoisl

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Ich habe jetzt viel darüber nachgedacht, aber ich komme echt nicht weiter.
Also die Lösung mit y - x wäre mir klar, wenn wir Messbarkeit für höhere Dimension definiert hätten.

Zitat:

Es gilt genau dann $\begin{eqnarray*} f(\omega)<g(\omega) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ , falls es ein $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(\omega)<q<g(\omega) \end{eqnarray*}$ gibt.

Damit weiß ich ehrlich gesagt nichts anzufangen. Mein Problem ist immer noch, dass ich mir die beschriebenen Mengen nicht vorstellen kann, da x und y ja lediglich messbar sein müssen...

20.10.2014, 19:04

Che Netzer

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Zitat:

Original von daLoisl
Mein Problem ist immer noch, dass ich mir die beschriebenen Mengen nicht vorstellen kann,

Dann tu das nicht.

Zitat:

da x und y ja lediglich messbar sein müssen...

Genau. Für jedes $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ sind also die Mengen $\begin{eqnarray*} \{x<q\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{q<y\} \end{eqnarray*}$ messbar. Was ist deren Schnitt? Und was ist dann die Vereinigung über alle $\begin{eqnarray*} q\in\mathbb Q \end{eqnarray*}$ ?

20.10.2014, 21:55

daLoisl

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Okay, danke für die Geduld.

Damit habe ich es nun lösen können.

$\begin{eqnarray*} \{ w \in [0,1] : x(w) < y(w) \} = \bigcup_{q \in \mathbb Q} ( x^{-1}((-\infty, q)) \cap y^{-1}((q, \infty))) \in \mathcal{L} \end{eqnarray*}$

Die Messbarkeit folgt aus den Eigenschaften der Sigma-Algebra. Die anderen beiden Mengen kann man dann mit Vereinigung, Schnitt und Komplement aus dieser darstellen.

Ein herzliches Dankeschön, auf den Trick mit den (abzählbaren) rationalen Zahlen wäre ich wohl nie von selbst gekommen.

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