(2n+1)! umformen

18.10.2014, 20:23

nureinnick

(2n+1)! umformen

Hallo,

ich muss eine Ungleichung beweisen ( $\begin{eqnarray*} \frac {(2n-1)!} {(2n)!} < \frac {1} {(n+1)^( \frac {1} {2})} n \in N \end{eqnarray*}$ ). Ich denke, das lässt sich per Induktion oder Annahme lösen. Nur leider weiß ich nicht, wie ich die Fakultäten umformen kann, habe hier schon gelesen, dass $\begin{eqnarray*} (n+1)!=(n)! (n+1) \end{eqnarray*}$ , nur lässt sich das wohl hierauf nicht so einfach übertragen... Oder übersehe ich einfach irgendwas?

Vielen Dank für hilfreiche Antworten!

18.10.2014, 20:31

Helfer (anonym)

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Versuche die Fakultäten auszuschreiben. Was ist dann (2n)! und (2n-1)! ?

18.10.2014, 20:32

Gast11022013

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Doch eigentlich kannst du das genau so anwenden.
Wenn du nicht siehst wie sich kürzen lässt, dann setze einfach mal ein paar n-Werte ein.

Von Induktion würde ich übrigens abraten. Das lässt sich auch sehr einfach direkt zeigen, also durch Umformungen.

Ist Null für euch eine natürliche Zahl?

Edit: Bin weg.

18.10.2014, 20:47

nureinnick

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Ok, aber wenn ich z.B. bei $\begin{eqnarray*} (2n-1) \end{eqnarray*}$ n=3 setze, dann erhalte ich: $\begin{eqnarray*} (2n-1)!=3 \cdot 5=15 ~~~ und ~~~ (2n-2)!(n-1)=2 \cdot 4 \cdot 2=16 \end{eqnarray*}$

Nein, bei dem Prof ist Null nicht mit drin, außer bei entsprechendem Indize

Ich verstehe schon, was die Fakultäten bewirken (Multiplikation der ungeraden Zahlen im Zähler und der geraden Zahlen im Nenner), aber ich weiß eben nicht, wie ich die Fakultäten umformen soll...

18.10.2014, 20:50

HAL 9000

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Irgendwie viel zu einfach, diese Behauptung... Ich vermute, tatsächlich geht es um diese Aufgabe

Vollständige Induktion Ungleichung Produkt

d.h., links steht nicht $\begin{align*} \frac{(2n-1)!}{(2n)!} \end{align*}$ , sondern $\begin{align*} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \end{align*}$ (d.h. die Doppelfakultät).

18.10.2014, 20:51

Helfer (anonym)

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Nichts für n einsetzen. Schreibe die Fakuläten aus um zu kürzen (2n-1)! = 1*2*...*n*(n+1)*...*(2n-1)

und für (2n)! = (2n-1)!*2n. Dann kann man kürzen

18.10.2014, 21:00

nureinnick

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@ Helfer: Also, nur um Missverständnisse zu vermeiden, ausgeschrieben soll der Bruch etwa so aussehen:

$\begin{eqnarray*} \frac {1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 ... \cdot (2n-1)} {2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot ... \cdot (2n)} \end{eqnarray*}$

@Hal 9000: Doppelfakultät? Wäre dann nicht jedes einzelne Element eine Fakultät? Sowas hatten wir auch noch garnicht (andererseits, Fakultäten auch noch nicht so wirklich)

18.10.2014, 21:02

HAL 9000

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Zitat:

Original von nureinnick
$\begin{eqnarray*} \frac {1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 ... \cdot (2n-1)} {2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8 \cdot ... \cdot (2n)} \end{eqnarray*}$

Damit ist mein Verdacht bestätigt - und hier nochmal zum Nachlesen, was Doppelfakultät bedeutet:

http://de.wikipedia.org/wiki/Fakult%C3%A...elfakult.C3.A4t

Weiter will ich mich hier nicht einmischen. Wink

18.10.2014, 21:08

Helfer (anonym)

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Komisch muss ich wohl nochmals studieren gehn, ich dachte bis jetzt (2n-1)! sei 1*2*3...(n-1)*n*(n+1)*(2n-2)*(2n-1)... verwirrt

18.10.2014, 21:24

HAL 9000

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@Helfer

Vielleicht hast du es noch nicht richtig mitgekriegt: Die eigentliche Aufgabenstellung ist der Nachweis von

$\begin{align*} \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} = \frac {1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 \ldots \cdot (2n-1)} {2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \ldots \cdot (2n)} < \frac{1}{\sqrt{n+1}} \end{align*}$ ,

und dann hat nureinnick es im Eröffnungsposting verbockt, und dort Fakultäten ! statt Doppelfakultäten !! geschrieben - und damit eine Menge unnötiges Palaver verursacht. Finger2

18.10.2014, 22:11

nureinnick

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@ Hal 9000: Sorry, Anfängerfehler... vierblätterzerknüllundwegschmeiß

Ich hab jetzt mal ein wenig weitergerechnet (ein wenig an deinem ersten Link orientiert), und dann die entstandene Formel $\begin{eqnarray*} \frac {4n²+4n+1} {4n²+4n+4} < \frac {n+1} {n+2} \end{eqnarray*}$ durch Multiplikation mit den Nennern und Auflösen der Klammer vereinfacht... Letztenends kommt nun aber raus: $\begin{eqnarray*} 4n²+n < 2 \end{eqnarray*}$ Ich muss irgendwo wieder nen ganz saublöden Fehler gemacht haben, aber ich find ihn nicht...

Zur Kontrolle mal der Rechenweg nach der Formel oben (die muss ja stimmen... Big Laugh

):

$\begin{eqnarray*} (4n²+4n+1)(n+2) < (4n²+4n+4)(n+1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4n³+4n²+1n+8n²+8n+2 < 4n³+4n²+4n+4n²+4n+4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4n²+n < 2 \end{eqnarray*}$

18.10.2014, 22:16

HAL 9000

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Es ist $\begin{align*} (2n+2)^2 = 4n^2+{\color{red}8}n+4 \end{align*}$ .

18.10.2014, 22:22

nureinnick

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Ok, dass ergibt dann: n < 2+4n

Nun, dass ergibt Sinn... Egal wie man n nun wählt.

Vielen Dank auf jeden Fall für die Hilfe, trotz meines zwischenzeitlichen Strohkopps

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