Polynomgleichung 4. Grades

19.10.2014, 10:41

kiwi123

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Polynomgleichung 4. Grades

Hallo,
Ich muss von folgender Aufgabe die Lösungsmenge bestimmen:

$\begin{eqnarray*} 4x^{3}+12x-12x^{2}+4x^{4}=72 \end{eqnarray*}$

Dachte mir erstmal alles auf eine Seite bringen und durch 4 teilen:

$\begin{eqnarray*} x^{4}+x^{3}-3x^{2}+3x-18= 0 \end{eqnarray*}$

So...Nun vielleicht Polynomdivision mit der 0-Stelle x1 = 2?
Kann das soweit stimmen oder bin ich auf einem ganz falschen Weg?
Wenn ich nämlich die Polynomdivision anwende bekomme ich einen Rest.

19.10.2014, 10:54

adiutor62

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RE: Polynomgleichung 4. Grades
Deine Überlegung ist völlig korrekt. Freude

Freude

19.10.2014, 11:17

Bjoern1982

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Zitat:

Wenn ich nämlich die Polynomdivision anwende bekomme ich einen Rest.

Dann wiederhole das nochmal, denn die Division muss hier ohne Rest aufgehen.
Mehr kann man nur sagen, wenn du den Rechenweg postest.
Es gibt übrigens auch noch einen Weg, mit dem man hier ohne 2 Polynomdivisionen auskommt.

19.10.2014, 11:27

kiwi123

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$\begin{eqnarray*} (x^4 + x^3 - 3x^2 + 3x - 18) : (x + 2) = x^3 - x^2 - x + 5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^4 + 2x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - x^3 - 3x^2 + 3x - 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - x^3 - 2x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - x^2 + 3x - 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} - x^2 - 2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 5x - 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5x + 10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - 28 \end{eqnarray*}$

19.10.2014, 11:30

Bjoern1982

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Du musst durch (x MINUS x0) dividieren.
Wenn du wie hier durch (x+2) dividierst, dann würde das bedeuten, dass x0=-2 eine Nullstelle wäre. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.10.2014, 11:48

kiwi123

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$\begin{eqnarray*} (x^4 + x^3 - 3x^2 + 3x - 18) : (x - 2) = x^3 + 3x^2 + 3x + 9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^4 - 2x^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x^3 - 3x^2 + 3x - 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x^3 - 6x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x^2 + 3x - 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x^2 - 6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 9x - 18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 9x - 18 \end{eqnarray*}$

0

Achso, stimmt ja! danke.

Also da die Lösungsmenge gesucht und ich bisher nur einen Teil der Lösungsmenge kenne x1 = 2 , muss ich jetzt noch eine zweite Polynomdivision durchführen, damit ich eine quadratische Gleichung erhalte die ich dann über die pq formel lösen kann?

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19.10.2014, 11:56

Bjoern1982

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So ist es. Freude

Freude

Um diesen doch recht großen Aufwand zu vermeiden, gibt es wie gesagt auch noch eine Alternative.

19.10.2014, 12:13

kiwi123

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hm okay die wäre? ^^

19.10.2014, 12:48

Bjoern1982

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$\begin{eqnarray*} x^{4}+x^{3}-3x^{2}+3x-18=(x^4-3x^2-18)+(x^3+3x)=(x^2-6)(x^2+3)+x(x^2+3)=(x^2+3)(x^2+x-6)=... \end{eqnarray*}$

Das wird dir jetzt vielleicht nicht so gefallen, weil du denkst "Toll, und wie soll ich da selbst drauf kommen?", aber mit etwas geübtem Auge kann man sowas eben sehen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Immerhin lohnt es sich insofern, als dass man damit dann nur noch 1-2 Zeilen für die Aufgabe braucht.

Grundgedanke zu diesem Lösungsweg kann eben sein, den Term zum einen etwas umzusortieren, um dann mit Adleraugen auf den Term x^4-3x^2-18 zu schauen und dann mit dem "Vieta-Ansatz" zu erkennen "Oh wow, -6*3 ist ja 18 und -6+3 sind -3, das passt ja super". Und glücklicherweise steckt im Restterm x³+3x auch nochmal eine Faktorisierung mit x²+3 drin (denn ansonsten hätte einem das jetzt nicht viel gebracht).

Wie gesagt, es ist nur eine Alternative, die ich zumindest erwähnt haben wollte.
Es klappt natürlich auch ohne Probleme mit deiner Methode. Freude

Freude

19.10.2014, 13:16

kiwi123

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Okay, ich denke ich habe deinen Lösungsweg soweit verstanden, aber stimmt da wäre ich nie im Leben selbst drauf gekommen ^^ Das nenne ich wirklich mal ein Adlerauge Big Laugh

Big Laugh

Danke, netter Anreiz!

19.10.2014, 13:47

kiwi123

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Doch noch was^^

$\begin{eqnarray*} x^{3}+3x^{2}+3x+9=0 \end{eqnarray*}$

Habe für diese Gleichung die bei der 1. Polynomdivision rauskam die 0-stelle gesucht und x2= -3 gefunden.

Also eine 2. Polynomdivision wie gesagt durchgeführt und erhalten:

$\begin{eqnarray*} (x^{3}+3x^{2}+3x+9) : (x+3) = x^{2} + 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^{3}+3x^{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+9 \end{eqnarray*}$

0

Und da ich ja jetzt nur eine einzige Potenz mit der variablen x habe, kann ich das ganze ja normal nach x auflösen:

x^2 + 3 = 0
x^2 = -3 // jetzt würde ich normal die wurzel ziehen aber das geht ja nicht

Wie sieht nun die Lösungsmenge aus? Ist die leer oder L = {2; -3} wegen den beiden 0-stellen????

19.10.2014, 14:07

sixty-four

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Es gibt generell die Möglichkeit völlig ohne Polynomdivision auszukommen, wenn du zur Berechnung des Funktionswertes das Horner-Schema verwendest. Du rechnest das Horner-Schema mit der vermuteten Nullstelle durch und hast dann bereits die Koeffizienten des reduzierten Polynoms unter dem Strich stehen.
In dem Beispiel sähe das so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{tabular}{r r r r r r}<br /> & 1 & 1 & -3 & 3 & -18<br /> x=2& & 2 & 6 & 6 &18<br /> \hline<br /> & & 3 & 3 & 9 & 0<br /> \end{tabular} \end{eqnarray*}$

Wie du siehst stehen unter dem Strich die gesuchten Koeffizienten. Die entsprechen dem Polynom, das du auch durch Polynomdivision erhalten hast:

$\begin{eqnarray*} x^3+3x^2+3x+9 \end{eqnarray*}$

19.10.2014, 14:14

kiwi123

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Okay, danke für den Hinweis! Ich kannte dieses Schema nicht aber werde es mir mal anschauen, scheint ja auch schnell zu gehen.

Weiß aber nun jemand etwas zu meiner Frage bezüglich der Lösungsmenge?

19.10.2014, 14:24

sixty-four

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Leer ist die Lösungsmenge auf keinen Fall, denn zwei Lösungen hast du ja schon gefunden. Ob es weitere gibt, hängt ein bisschen von der genauen Aufgabenstellung ab. Wenn es heisst: Suche alle reellen Lösungen bist du fertig. Ein Polynom 4. Grades hat aber immer auch vier Nullstellen. Wenn die Koeffizienten reell sind, sind die Nullstellen dann ggf. paarweise konjugiert komplex. Ich weiss jetzt nicht, ob du auch komplexe Lösungen finden sollst.

19.10.2014, 14:33

kiwi123

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Ohh, in der Aufgabenstellung steht nur: Geben Sie die Lösungsmenge der Gleichung an.

Wenn die Koeffizienten reell sind, sind die Nullstellen dann ggf. paarweise konjugiert komplex. <<???

Wie funktioniert sowas, ich weiß ehrlich gesagt garnicht was du meinst.

19.10.2014, 15:09

sixty-four

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Wenn du über komplexe Zahlen noch nie etwas gehört hast, geht es vermutlich nur um die reellen Lösungen. Dann besteht die Lösungsmenge nur aus den beiden Lösungen, die du schon angegeben hast.

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