Substitutionsmethode: Simples Integral macht Probleme

19.10.2014, 12:29

Alan47

Substitutionsmethode: Simples Integral macht Probleme

Hallo zusammen,

einer meiner Nachhilfe-Schüler ist heute mit einem Integral-Beispiel zu mir gekommen. Da ich normalerweise die 5. bis 7. Klassen unterrichte, ist meine letzte Anwendung des Integrals schon einige Jahre her, deswegen kann es sein, dass ich etwas sehr Einfaches schlicht übersehe.

Hier ist die Aufgabe, es gilt einfach nur das Integral zu lösen:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int x \sqrt{5-x} dx \end{eqnarray*}$

In der Klasse des betreffenden Schülers wird gerade die Substitutions-Methode besprochen, das partielle Integral wurde allerdings noch nicht behandelt und kann folglich auch nicht zur Lösung des Problems verwendet werden.

Ich habe bislang folgendes (leider erfolglos) versucht:

1) Direkte Substitution:

$\begin{eqnarray*} z = 5 - x z' = -1 -1 = \frac{dz}{dx} dx = -dz \end{eqnarray*}$

... dabei entsteht aber:

$\begin{eqnarray*} F(z) = \int -x \sqrt{z} dz \end{eqnarray*}$

... und dieses letzte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ lässt sich nicht mehr weg kürzen, wodurch die Substitution effektiv nutzlos wird.

2) Zuerst vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int x \sqrt{5-x} dx F(x) = \int \sqrt{5x^2-x^3}dx z = 5x^2-x^3 z' = 10x - 3x^2 dx = \frac{dz}{10x-3x^2} \end{eqnarray*}$

... und durch Einsetzen erhält man:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \int \sqrt{z} \frac{dz}{10x-3x^2} \end{eqnarray*}$

Dieser Term hat leider das gleiche Problem wie in Ansatz 1, nur dass das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ dieses Mal durch die Substitution von $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} dz \end{eqnarray*}$ entsteht.

Ich steh hier wirklich wie der sprichwörtliche Ochse vor'm Berg - kann jemand meinem Gedächtnis auf die Sprünge helfen? Hierbei handelt es sich um eines der Einführungsbeispiele des Mathe-Buchs zur Substitutionsmethode, wahnsinnig kompliziert kann es also eigentlich gar nicht sein...!

Danke,

Alan

19.10.2014, 12:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von Alan47
1) Direkte Substitution:

$\begin{eqnarray*} z = 5 - x z' = -1 -1 = \frac{dz}{dx} dx = -dz \end{eqnarray*}$

... dabei entsteht aber:

$\begin{eqnarray*} F(z) = \int -x \sqrt{z} dz \end{eqnarray*}$

... und dieses letzte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ lässt sich nicht mehr weg kürzen

Die Substitution vollständig (!!!) durchgezogen kommt man zu

$\begin{align*} \int -(5-z) \sqrt{z} ~ \dd z \end{align*}$ ,

was sich sehr wohl mit der Potenzregel

$\begin{align*} \int z^{\alpha} ~ \dd z = \frac{1}{\alpha+1}z^{\alpha+1} + C \end{align*}$

integrieren lässt.

19.10.2014, 12:49

Alan47

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*facepalm* Okay... das hätte ich eigentlich sehen müssen. Es ist oft der Fall bei solchen Aufgaben aus Schulbüchern, dass man einfach genau den $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Term ersetzt und die verbleibenden $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ sich durch jenen Ausdruck kürzen lassen, der bei der Substitution von $\begin{eqnarray*} dx \end{eqnarray*}$ entsteht.

Ich war so versessen darauf das zu machen, dass ich das einfach übersehen habe, wie peinlich ^^'

Vielen Dank!

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