Kompaktheit und Dichtheit |
| 19.10.2014, 13:06 | qwertz1928 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Kompaktheit und Dichtheit Ich soll feststellen ob eine Teilmenge dicht und kompakt ist. Welche Teilmengen des metrischen Raums (X,d) sind dicht in X? Welche Teilmengen sind kompakt? Ich nenne die Teilmenge hier E. Gegeben ist eine Menge X und eine Funktion D : X^2 -> \mathbb R mit d(p,q) = 1 für p\neq q und d(p,q) = 0 für p=q Zusätzlich weiß ich dass es keine Häufungspunkte gibt und dass alle Teilmengen offen sind. Leider tue ich mich mir schwer das ganze richtig zu verstehen und weiß nicht wie ich die Definitionen anwenden soll, daher suche ich Hilfe. Meine Ideen: Die Definition von dicht ist wie folgt: E heißt dicht in X, falls jedes p\in X ein Element von E oder ein Häufungspunkt von E oder beides ist. Da ich weiß, dass es keine Häufungspunkte gibt muss ich also schauen ob jeder p\in X ein Element von E ist. Ich stehe gerade nur auf dem Schlauch und weiß nicht wie ich das mathematisch hinschreiben/beweisen soll. Die Definition zu kompakt ist: Eine Teilmenge K eines metrischen Raums (x,d) heißt kompakt, falls jede offene Überdeckung von K eine endliche Teilüberdeckung besitzt. Wieder habe ich keine Ahnung wie ich das zeigen soll? Kann mir jemand an Hand von Beispielen zeigen wie ich diese Eigenschaften zeigen kann? |
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| 19.10.2014, 14:15 | tmo | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Kompaktheit und Dichtheit
Ja, das ist doch schon alles. Also ist X selbst die einzige dichte Teilmenge. Zu den kompakten Mengen: In einem diskreten Raum (die Metrik nennt man ja auch diskrete Metrik) ist eine Teilmenge genau dann kompakt, wenn sie endlich ist. Das solltest du mal zeigen. |
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