Eine Aussage anhand einer Wahrheitstabelle aufstellen

19.10.2014, 16:00

Hypestar

Eine Aussage anhand einer Wahrheitstabelle aufstellen

Hallo zusammen,
seit mittlerweile gut 1 1/2 Stunden sitze ich an einer Aufgabe die mich echt Verrückt macht.
Und zwar habe ich eine Vorgegebene Wahrheitstabelle und ich soll nun mit maximal 7 Konjunktionen, Disjunktionen und Negationen eine Aussage aufstellen, die diese Wahrheitstabelle erfüllt.

Es handelt sich um diese Wahrheitstabelle:
A B C | ?Aussage?
0 0 0 | 1
1 0 0 | 1
0 1 0 | 1
1 1 0 | 0
0 0 1 | 1
1 0 1 | 1
0 1 1 | 0
1 1 1 | 1

Ich habe schon etliche Din A-4 Seiten Papier voll auf denen ich verschiedene Kombinationsmöglichkeiten ausprobiert habe um auf eine entsprechende Aussage zu kommen.

Übersehe ich vielleicht etwas oder gibt es evtl. sogar einen Weg auf eine entsprechende Aussage zu kommen der rein gar nichts mit Ausprobieren zu tuen hat?

Danke im Voraus
MfG

19.10.2014, 16:22

Huggy

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RE: Eine Aussage anhand einer Wahrheitstabelle aufstellen
siehe: Aussage aus Wahrheitswerten generieren

19.10.2014, 16:36

Hypestar

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Danke für die Weiterleitung smile

Das war deine Antwort:

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} X=f(A,B,C) \end{eqnarray*}$ die durch die Tabelle definierte boolsche Funktion. Man kann sich aus der Tabelle erst mal irgendeinen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ darstellenden Term herleiten. Dazu gibt es verschiedene Möglichkeiten, z. B.:

(1) Es gibt nur 2 Zeilen, in denen $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ den Wert 0 bekommt. Aus diesen beiden Zeilen ergibt sich

$\begin{eqnarray*} X=\neg((A \land B \land \neg C) \lor (\neg A \land B \land C)) \end{eqnarray*}$

(2) Man sieht, dass bei $\begin{eqnarray*} B = 0 \end{eqnarray*}$ immer $\begin{eqnarray*} X = 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Dann muss sich $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ in der Form

$\begin{eqnarray*} X=g(A,C) \lor \neg B \end{eqnarray*}$

darstellen lassen. Aus der reduzierten Tabelle für $\begin{eqnarray*} A, C, B=1 \end{eqnarray*}$ kann man einen Term für $\begin{eqnarray*} g(A, B) \end{eqnarray*}$ herleiten.

Dann versucht man den Term für $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ so umzuformen, dass er nur noch 7 der zugelassenen booleschen Operatoren enthält.

Den ersten Teil verstehe ich ohne Probleme, aber ab (2) hört es dann doch leider auf.
1. Mir ist nicht ganz klar warum genau du die Funktion $\begin{eqnarray*} X=g(A,C) \lor \neg B \end{eqnarray*}$ gebildet hast.

2. Mit der reduzierten Tabelle $\begin{eqnarray*} A, C, B=1 \end{eqnarray*}$ meinst du einfach nur das Stück der Tabelle bei dem X den Wert 1 annimmt? Ansonsten würde mich nämlich die Auflistung A,C,B verwirren.
Wenn das gemeint ist, weiß ich trotzdem nicht wie man aus dieser Tabelle einen Term für $\begin{eqnarray*} g(A, B) \end{eqnarray*}$ herleitet und was genau es einem bringt dies zu tun.
Könntest du mir damit evtl Weiterhelfen?

MfG

19.10.2014, 16:56

Huggy

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Zitat:

Original von Hypestar
1. Mir ist nicht ganz klar warum genau du die Funktion $\begin{eqnarray*} X=g(A,C) \lor \neg B \end{eqnarray*}$ gebildet hast.

Es ist dann nur noch eine Funktion von 2 Variablen zu finden. Das vereinfacht die Sache doch.

Zitat:

2. Mit der reduzierten Tabelle $\begin{eqnarray*} A, C, B=1 \end{eqnarray*}$ meinst du einfach nur das Stück der Tabelle bei dem X den Wert 1 annimmt?

Nein. Das ist ein anderer Ansatz als mein erster Ansatz.

Damit meine ich die 4 Zeilen der Tabelle, in denen $\begin{eqnarray*} B = 1 \end{eqnarray*}$ ist. Die Zeilen, in denen $\begin{eqnarray*} B=0 \end{eqnarray*}$ ist, sind ja schon durch das $\begin{eqnarray*} \lor \neg B \end{eqnarray*}$ verarbeitet. Und die Spalte mit B kann man dann aus diesen 4 Zeilen weglassen. Aus diesen 4 Zeilen gewinnt man die Funktion $\begin{eqnarray*} g(A, C) \end{eqnarray*}$ und hat damit die Gesamtfunktion.

19.10.2014, 18:44

Hypestar

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Okay ich glaube da habe ich mich nicht Präzise genug Ausgedrückt.
Ich weiß leider so Überhaupt nicht was mir eine Funktion bringt und wie man mit dieser Arbeitet - unser Prof hat uns darüber nichts erzählt und auch im Skript ist nichts zu finden.

Du bildest also diese Formel: $\begin{eqnarray*} X=g(A,C) \lor \neg B \end{eqnarray*}$ . Was genau sagt diese Funktion aus und wie würde sie Ausgeschrieben aussehen?

Das wäre meine Idee: $\begin{eqnarray*} g(A, C) \end{eqnarray*}$ befindet sich Ungefähr in dieser Form: $\begin{eqnarray*} X=\neg((A \land B \land \neg C) \lor (\neg A \land B \land C)) \end{eqnarray*}$ - natürlich mit anderen Variablen.

Anschließend würde ich versuchen - wie auch immer - die 2 Funktionen zusammen zu fassen. Wäre das dann meine Aussage? Wenn ja dann weiß ich leider nicht wie man die Funktion $\begin{eqnarray*} g(A, C) \end{eqnarray*}$ bildet :/

19.10.2014, 19:36

Huggy

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Zitat:

Original von Hypestar
Okay ich glaube da habe ich mich nicht Präzise genug Ausgedrückt.
Ich weiß leider so Überhaupt nicht was mir eine Funktion bringt und wie man mit dieser Arbeitet - unser Prof hat uns darüber nichts erzählt und auch im Skript ist nichts zu finden.

Die Aussagenlogik bildet das Fundament der formalen Logik. Und die sollt ihr halt kennenlernen.

Zitat:

Du bildest also diese Formel: $\begin{eqnarray*} X=g(A,C) \lor \neg B \end{eqnarray*}$ . Was genau sagt diese Funktion aus und wie würde sie Ausgeschrieben aussehen?

Verbal lautet sie: $\begin{eqnarray*} g(A,C) \end{eqnarray*}$ oder nicht $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$
Diese zusammengesetzte Aussage ist wahr, wenn die noch nicht im Detail definierte Aussage $\begin{eqnarray*} g(A, B) \end{eqnarray*}$ wahr ist oder die Negation von $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ wahr ist, also $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ falsch ist. Das entspricht ganz der umgangssprachlichen Bedeutung. Man muss nur wissen, dass das logische "oder" das nicht ausschließende oder ist.

Zitat:

Das wäre meine Idee: $\begin{eqnarray*} g(A, C) \end{eqnarray*}$ befindet sich Ungefähr in dieser Form: $\begin{eqnarray*} X=\neg((A \land B \land \neg C) \lor (\neg A \land B \land C)) \end{eqnarray*}$ - natürlich mit anderen Variablen.

Das ist Unfug. Da hast du einfach etwas aus meinem ersten Vorschlag abgeschrieben, was natürlich nicht zu meinem zweiten Vorschlag passt. $\begin{eqnarray*} g(A,C) \end{eqnarray*}$ soll doch nur noch von A und C abhängen.

Dein Unverständnis ist so groß, dass weitere Hinweise nichts bringen. Ich mache es also kurz und schmerzlos. Betrachtet man die Zeilen, in denen $\begin{eqnarray*} B = 1 \end{eqnarray*}$ ist, sieht man, dass in diesen Zeilen die Gesamtaussage, von mir $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ genannt, genau dann wahr ist, wenn entweder $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ beide wahr sind oder $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ beide falsch sind. In die formale Sprache übersetzt heißt das:

$\begin{eqnarray*} g(A, C) = (A \land B) \lor ( \neg A \land \neg C) \end{eqnarray*}$

Damit bekommt man insgesamt:

$\begin{eqnarray*} X=(A \land B) \lor ( \neg A \land \neg C) \lor \neg B \end{eqnarray*}$

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