Konvergenzradius bestimmen

19.10.2014, 17:20

Mathe58

Konvergenzradius bestimmen

Meine Frage:
Ich soll den Konvergenzradius folgender Reihe bestimmen und wie man den bestimmt ist mir bekannt.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (1+\frac{(-1)^{n}}{n})^{n^{2}}*(z+i)^{n} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Jedoch komme ich nicht beim Rechnen weiter und mir fällt nichts mehr ein, wie ich das so zusammenfassen kann, dass ich mit wurzel oder quotientenkriterium an mein lim sup komme.
Für jeden Tipp bin ich sehr dankbar

19.10.2014, 17:27

HAL 9000

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Nimm das Wurzelkriterium, bzw. in der Form als Konvergenzradiusformel eher Formel von Cauchy-Hadamard genannt.

Bei der konkreten Bestimmung des dort enthaltenen Limes Superior orientiere dich an den Index-Teilfolgen "gerade n" bzw. "ungerade n".

19.10.2014, 17:44

Mathe58

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Ok, ich schreib das jetzt mal so auf wie ich das verstanden habe.

$\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{(1+\frac{(-1)^{n}}{n})^{n^{2}} (z+i)^n }=(1+\frac{(-1)^{n}}{n})^{n} (z+i) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim _{n \to \infty} (1+\frac{(-1)^{2n}}{2n})^{2n}=(1+\frac{1}{2n})^{2n} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim _{n \to \infty} (1+\frac{(-1)^{2n+1}}{2n+1})^{2n+1}=(1+\frac{-1}{2n+1})^{2n+1} \end{eqnarray*}$
Und jetzt jeweils den Grenzwert bestimmen.

Meintest du das so?

19.10.2014, 18:00

HAL 9000

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Genau.

19.10.2014, 18:33

Mathe58

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Die gerade Teilfolge ist der Grenzwert 1? Ich bin mir gerade unsicher ob e der Grenzwert dieserTeilfolge ist.

19.10.2014, 18:35

HAL 9000

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Aha, du bietest zwei zur Wahl - nach dem Motto: Einer davon wird's schon sein. Erstaunt2

Es ist $\begin{align*} e \end{align*}$ .

19.10.2014, 18:52

Mathe58

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Ok, dann ist der Grenzwert der ungeraden Teilfolge $\begin{eqnarray*} e^{-1} \end{eqnarray*}$ ,wegen der -1 in Zähler..
Meine beiden Teilfolgen haben ja jetzt unterschiedliche Grenzwerte. Aus den beiden Grenzwerten schließe ich wohl auf den Grenzwert der Folge,oder?Dann hätte ich ja letzten Endes den Radius verwirrt

19.10.2014, 19:09

HAL 9000

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Zitat:

Original von Mathe58
Aus den beiden Grenzwerten schließe ich wohl auf den Grenzwert der Folge,oder?

Der Grenzwert existiert nicht, wie die unterschiedlichen Grenzwerte der Teilfolgen beweisen. Du meinst wohl eher den Limes Superior - bitte die korrekte Wortwahl einhalten!

19.10.2014, 19:13

Mathe58

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Ja ok,tut mir leid, ich achte darauf. Ich würde sagen mein lim sup ist jetzt mein e,also der Grenzwert der geraden Teilfolge.

19.10.2014, 19:14

HAL 9000

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Ja, stimmt.

19.10.2014, 19:54

Mathe58

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Ok,vielen Dank an dieser Stelle. smile

Ich habe noch eine Frage zu einer anderen Reihe, wenn es okay ist.
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty a_{k}z^{k} \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} a_{k} = 1 ,k \end{eqnarray*}$ gerade natürliche Zahl
$\begin{eqnarray*} =2^k, k \end{eqnarray*}$ ungerade natürliche Zahl
wobei die 0 in N enthalten ist.

Mein Ansatz wäre folgender: $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{a_{k}z^k }= \sqrt[k]{a_{k} }*z \end{eqnarray*}$
Dann wieder die Teilfolgen betrachten:
$\begin{eqnarray*} z_{2k}= \sqrt[2k]{1 }<br /> \lim_{k \to \infty } z_{2k}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_{2k+1}= \sqrt[2k+1]{2^{2k+1} } \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty } z_{2k+1}=2 \end{eqnarray*}$

Lim sup wäre also 2.

19.10.2014, 21:10

Mathe58

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Kann mir kurz einer sagen ob der Ansatz stimmt?

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