Extremwertaufgaben |
| 19.10.2014, 17:46 | Gonii | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Extremwertaufgaben Es geht um folgende Aufgabe, die wirklich sehr sehr wichtig für die Klausur übermorgen ist und ich sie einfach nicht verstehe 
Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=x2-16. Der Graph schließt mit der x-Achse eine Fläche ein. In diese Fläche soll ein Rechteck mit größtem Flächeninhalt gelegt werden, das seine Seiten parallel sind zu den Koordinatenachsen. Meine Ideen: Also erstmal die Formal für den Flächeninhalt des Rechtecks welches : a*b wäre. Außerdem ist es notwendig, dass A'(u)=0 ist. Und für den maximalen Flächeninhalt muss es sich ja um einen Hop handeln, also zweite Ableitung kleiner null... Ich hab die Funktion gezeichnet und ein Rechteck darein gelegt mit 4 cm Breite.. Aber wie mach ich jetzt weiter und woher weiß ich das es der maximale Flächeninhalt ist.. Hilfee!! |
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| 19.10.2014, 18:01 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Der nächste Schritt wäre eine Variation der Breite, am besten mit einer Unbekannten. Gehe also nicht von 4cm aus, sondern von x cm. Daraus solltest Du eine Formel für den Flächeninhalt erhalten, die nur noch von einer Variable (z.B. der Breite oder Höhe) abhängt. |
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| 19.10.2014, 18:03 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
A=a*b wäre schon mal die so genannte Hauptbedingung (HB) . Dieser Term hängt jedoch von 2 Unbekannten ab und in der Zielfunktion sollte nach Möglichkeit aber nur noch eine Unbekannte auftauchen. Um das zu ermöglichen, benötigst du daher noch so genannte Nebenbedingungen (NB). Ich hänge mal eine Skizze zum Sachverhalt an. In dieser Skizze hat der Punkt B die x-Koordinate 2. Dadurch ist eben nur ein von unendlich vielen, möglichen Rechtecken eingezeichnet. Da es nun aber allgemein darum geht, eine allgemeine Formel für den Flächeninhalt eines solchen Rechtecks zu bestimmen, nennen wir die x-Koordinate von B jetzt einfach mal u. Der Punkt B lautet also B(u|0). Entscheidend ist jetzt zunächst, wie die Koordinaten von A,C und D allgemein lauten. Hast du da eine Idee ? |
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| 19.10.2014, 18:38 | Anabelll | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich bin mir ziemlich unsicher aber bei A (u/0), es ist ja die Gegenseite von B.. Und bei C und D weiß ich es leider nicht |
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| 19.10.2014, 18:43 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bist du Gonii ? Bei dir hat A ja dann dieselben Koordinaten wie B. 
In der Skizze lauten die Punkte A und B ja A(-2|0) und B(2|0). Jezt hatten wir gesagt, dass wir B allgemein (u|0) nennen, wir haben die 2 also durch u ersetzt. Damit lautet B also ? Dasselbe kannst du dir ja auch für C und D überlegen. C lautet in der Skizze... Bringen wir also nun wieder das u ins Spiel, lautet C... |
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| 19.10.2014, 18:49 | Anabelll | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann wäre B (u/0) C(2/-12) D(-2/-12) Richtig? Wie mache ich dann weiter? |
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| 19.10.2014, 18:53 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Sag bitte erstmal, ob du überhaupt der Fragesteller Gonii bist. 
Den Punkt B hatte ich ja bereits genannt, es geht um die Koordinaten von A. Die Koordinaten für C und D sind richtig abgelesen. Nun müssen wir das Ganze ähnlich wie bei A und B aber wieder allgemein durch u ausdrücken. |
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| 19.10.2014, 18:57 | Anabelll | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja ich habe die Frage gestellt! 
Sie hatten aber gefragt: B lautet daher?.. Aber naja, also wäre dann C (u/-12) und D(u/-12) |
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| 19.10.2014, 19:01 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du darfst auch ruhig in Frage stellen, wenn etwas keinen Sinn macht, was ich frage. 
Nochmals nach B zu fragen, macht natürlich keinen Sinn und war damit natürlich ein Tippfehler. Wie lautet also A ? Und beschreibe bitte einmal wie du vorgehen würdest, wenn du von C nur die x-Koordinate 2 kennen würdest und die y-Koordinate unbekannt wäre. Wie würdest du dann ohne ablesen auf die y-Koordinate von C kommen ? |
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| 19.10.2014, 19:14 | Anabelll | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
A wäre dann A(u/0) oder nicht
Bei c wäre ja die y- koordinate unbekannt, also würde ich doch einfach 2 in die ausgangsfunlktion setzen um den entsprechenden y-wert zu erhalten? |
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| 19.10.2014, 19:24 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na komm
Oder ernst gemeint ?
Goldrichtig. 
C könnte man ja statt (2|-12) nun dann auch schreiben als (2|f(2)). Ersetzen wir nun also wie bei A und B die x-Koordinate durch u, dann lautet C demnach wie ? |
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| 19.10.2014, 19:29 | Anabelll | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wäre a dann (-u/0)? Ernst gemeint 😂 C wäre dann (u/-12)? Wie mache ich dann weiter,? |
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| 19.10.2014, 19:32 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit A bin ich jetzt zufrieden.
Mit C so halb. Klar die x-Koordinate ist u (muss ja dieselbe x-Koordinate wie bei B sein), nur wir wollen auch die y-Koordinate allgemein durch u ausdrücken. Daher erinnere dich nochmal an das hier:
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| 19.10.2014, 20:22 | Anabelll | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Hm, dann vielleicht C(u/f(u)? Wie mache ich jetzt weiter, weiß garnicht wo mich das hier hinführen soll 
Ich habs gerade nochmal alleine versucht und habe es so gerechnet: A(u)=2*u*f(u) das wäre dann A(u)=2*u3+32*u Davon habe ich dann die Ableitung gemacht und diese null gesetzt, da ich ja die maximale Fläche haben möchte und es mit der zweiten Ableitung überprüft. Die Nullstelle hab ich dann in die Ausgangsfunktion gesetzt( nullstelle ist ja u) um den flächeninhalt auszurechnen. Der wäre 48.27 cm2. Dann muss ich doch den Flächeninhalt geteilt durch die u, die nullstelle rechnen um die Höhe zu kriegen, die 21.33 beträgt. Muss man das dann noch geteilt durch 2 rechnen um nur eine Seite zu haben? Bin ich dann mit der Aufgabe fertig oder muss ich noch die Funktion aufstellen
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| 19.10.2014, 20:38 | Bjoern1982 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Perfekt.
In meinem ersten Beitrag hier im Thead sprach ich ja vom Aufstellen der so genannten Nebenbedingungen. Um diese nun aufzustellen, könnte man zunächst erstmal darüber nachdenken, wie die Koordinaten der 4 Eckpunkte allgemein lauten. Das war sozusagen die Vorarbeit dafür, was danach kommt. Wenn man das nämlich getan hat, sollte es leicht fallen die Rechteckseiten a und b durch u auszudrücken. Offenbar hast du a=2u erkannt.
Auch b=f(u) ist schonmal nicht schlecht, da fehlt aber noch ein kleiner Gedanke. b als Seitenlänge eines Rechtecks sollte ja immer positiv sein, nun sind die Werte für f(u) aber aufgrund der Parabellage hier negativ. Ist aber kein Problem, dann sagen wir einfach b=-f(u), damit ist das Problem gelöst (klar warum ?). Damit haben wir dann mit A(u)=2u*(-u²+16)=-2u³+32u die gesuchte Zielfunktion, die in Abhängigkeit von u (also der Lage der Eckpunkte) den entsprechenden Flächeninhalt des Rechtecks angibt. Da nun der maximal mögliche Flächeninhalt gesucht ist, bedeutet das: Bestimme das Maximum für A(u) |
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