Beweis: Wurzel 6 irrational

19.10.2014, 22:12

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Beweis: Wurzel 6 irrational

Hi,

ist meine Behauptung richtig, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ irrational ist?
$\begin{eqnarray*} \sqrt{6} = \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
wobei:
*: $\begin{eqnarray*} d=\frac{a}{b} , ggT(a,b)=1 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sqrt{6} = \frac{a}{b} 6 = \frac{a^2}{b^2} 6b^2=a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 6b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a=2*c c \in \mathbb N 6b^2=4c^2 3b^2=2c^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2c^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$

Wiederspruch aus *
b darf nicht gerade sein =>
deshalb $\begin{eqnarray*} \sqrt{6} \end{eqnarray*}$ irratonal.

Stimmt der Beweis so? Fehlt noch irgendwas?

Gruß

19.10.2014, 23:37

Stephan Kulla

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RE: Beweis: Wurzel 6 irrational
Passt im Großen und Ganzen Augenzwinkern

Anmerkungen:

Zitat:

Da $\begin{eqnarray*} 2c^2 \end{eqnarray*}$ gerade ist, muss auch $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ gerade sein => b gerade

Auf der linken Seite hast du $\begin{eqnarray*} 3b^2 \end{eqnarray*}$ zu stehen. In der Begründung muss deswegen unbedingt kommen, dass 3 ungerade ist. Würde bspw. da $\begin{eqnarray*} 2b^2 \end{eqnarray*}$ stehen, dann könntest du nicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} b^2 \end{eqnarray*}$ gerade ist. Verstehst du?

Außerdem:

Dein Beweis ist zwar richtig, aber nicht der Standardbeweis. Versuche einmal zu beweisen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ irrational ist. Hier wirst du schnell sehen, dass du nicht mit gerade/ungerade argumentieren kannst.

Tipp: An der Stelle $\begin{eqnarray*} 6b^2=a^2 \end{eqnarray*}$ kannst du auch folgern, dass 6 ein Teiler von $\begin{eqnarray*} a^2 \end{eqnarray*}$ ist.

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