Injektivität allgemein beweisen

20.10.2014, 10:28	blizzard94	Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität allgemein beweisen Hallo zusammen, ich häng bereits am ersten Übungsblatt meines Mathestudiums fest - gute Voraussetzungen .. Aufgabe: Sei f: X -> Y eine Funktion. Zeigen Sie, dass f genau dann injektiv ist, wenn für alle $\begin{eqnarray} A, B \subseteq X \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} f(A\cap B) = f(A)\cap f(B) \end{eqnarray}$ . Mir ist klar, dass eine Abbildung f genau dann injektiv ist, wenn $\begin{eqnarray} f(x_{1}) = f(x_{2}) \end{eqnarray}$ nur für $\begin{eqnarray} x_{1} = x_{2} \end{eqnarray}$ gilt. Aber ich hab absolut keine Ahnung wie man das nunallgemein beweisen kann (da ich nicht x -> x² oder sowas hab). Liebe Grüße, Blizzard
20.10.2014, 10:46	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität allgemein beweisen Naja, du solltest schon beide Richtungen separat beweisen, in 1) und 2): 1) Die Mengengleichheit zeigst du indem du beide Inklusionen zeigst, d.h. du nimmst ein Element aus der einen Menge und zeigst, dass es auch in der anderen Menge liegt, und umgekehrt. 2) Die Injektivität zeigt man so, wie du es schon gesagt hast. Versuch mal so weit wie du kommst und poste deine Ergebnisse dann hier.
20.10.2014, 11:54	blizzard11	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, ich dachte mir schon, dass man einmal quasi "von links" und "von rechts" beweisen muss. Hab das mal versucht, allerdings bin ich mir sehr unsicher ... (siehe Anhang). Vielen Dank so weit! Wie mach ich das jetzt mit der Injektivität? Ich hab ja wie gesagt keine konkrete Funktion, wie z.B. eine Parabel, mit der ich das ausprobieren kann :/ Liebe Grüße
20.10.2014, 12:06	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Anfang sieht schonmal sehr gut aus. Bei $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ ist soweit bis "Es folgt $\begin{eqnarray} x\in A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in B \end{eqnarray}$ ." Es ist nur unsinnig, da bei einem "und" eine Fallunterscheidung zu machen, da ja beides gleichzeitig zutrifft. Das kann man also auch direkt ohne Fallunterscheidung machen. Selbiges zur anderen Inklusion Zur zweiten Inklusion: Wie kommst du in "Fall 1" auf einmal auf $\begin{eqnarray} x\in B \end{eqnarray}$ ? Ist dir eigendlich klar, dass du die Vorraussetzung, dass f injektiv seien soll, nirgendwo verwendest?
20.10.2014, 12:25	blizzard11	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm .. klingt logisch In Zukunft lass ich sie bei "und" weg Zur 2. Inklusion, Fall 1: Gute Frage Müsste eigentlich "Da $\begin{eqnarray} x \in A \end{eqnarray}$ ist, gilt $\begin{eqnarray} x \in A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x \in B \end{eqnarray}$ und somit also $\begin{eqnarray} x \in A\cap B \end{eqnarray}$ . Es folgt $\begin{eqnarray} y= f(x)\in f(A\cap B) \end{eqnarray}$ ." heißen, oder? Kann ich einfach noch oben "Sei f eine injektive Funktion. Zu zeigen ist [...]" einfügen oder reicht das nicht?
20.10.2014, 12:45	Math1986	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, du weißt nur dass es ein $\begin{align} a\in A \end{align}$ mit $\begin{align} y=f(a) \end{align}$ und ein $\begin{align} b\in B \end{align}$ mit $\begin{align} y=f(b) \end{align}$ gibt, die müssen im Allgemeinen nicht gleich sein. Mit der Injektivität wollte ich nur darauf hinaus, dass diese Eigenschaft bei dir nirgendwo eingeht, kommt dir das nicht seltsam vor?
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