Cauchy Riemann Gleichung

20.10.2014, 13:33

Romaxx

Cauchy Riemann Gleichung

Hallo miteinander,

folgendes Problem:

Sei $\begin{eqnarray*} f: \mathbb C -> \mathbb C , f(z)=z^5/|z|^4 falls\,z\,ungleich\, 0\,und\,f(z)= 0 falls\,z = 0 \end{eqnarray*}$ .

Ich soll zeigen, dass f die Cauchy Riemann Gleichungen in z= 0 erfüllt.

Wie kann ich f parametriesieren ohne großen Aufwand der Ableitung bzw. gibt es einen anderen Ansatz?

Danke und Grüße

20.10.2014, 20:15

Che Netzer

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RE: Cauchy Riemann Gleichung
Du brauchst doch nur die Werte von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ auf der reellen und auf der imaginären Achse.

20.10.2014, 22:10

Romaxx

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Um genau zu sein die Werte der partiellen Ableitungen nach x und nach y für z= x +iy im Punkt 0. Nur dazu benötige ich einen Ausdruck den ich einfach ableiten kann. Multipliziere ich den Ausdruck aus, erhalte ich einen ellenlangen gebrochenen Ausdruck. Falls ich nicht ganz durch gestiegen bin, was du meinst, hol bitte etwas weiter aus.

20.10.2014, 22:31

Che Netzer

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Zitat:

Original von Romaxx
Um genau zu sein die Werte der partiellen Ableitungen nach x und nach y für z= x +iy im Punkt 0.

Und wie sind die definiert? verwirrt

20.10.2014, 22:51

Romaxx

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Im Prinzip so wie hier:

http://de.m.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Ri...tialgleichungen

x, y sind dabei die reellen Komponenten des Arguments von z aus den komplexen Zahlen und u, v sind reellwertige Funktionen der Parametrisierung von f in den reellen Teil und den imaginären Teil der Abbildung

20.10.2014, 22:55

Che Netzer

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Dort werden nicht die partiellen Ableitungen definiert. Ja, du musst überprüfen, ob z.B. $\begin{eqnarray*} u_x=v_y \end{eqnarray*}$ im Nullpunkt gilt – aber wie sind diese Ausdrücke an der Stelle Null definiert?

21.10.2014, 15:35

Romaxx

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Ja entschuldige.

Die partiellen Ableitungen sind einfach die reellen Ableitungen nach x bzw. nach y, wenn z= x+iy.

Ich habe nun einmal den Differenzenquotienten von f in z=0 gebildet und dabei kommt folgendes für h -> 0 , h komplex, heraus:

$\begin{eqnarray*} \frac{(h_x+i*h_y)^5(h_x-i*h_y)}{((h_x)^2+(h_y)^2)^4} \end{eqnarray*}$

Setze ich $\begin{eqnarray*} h_y=0 \end{eqnarray*}$ steht noch folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(h_x)^2} \end{eqnarray*}$

Setze ich $\begin{eqnarray*} h_x=0 \end{eqnarray*}$ steht noch folgendes:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{(h_y)^2} \end{eqnarray*}$

Da die imaginäre Einheit fehlt, stimmen somit $\begin{eqnarray*} v'_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u'_y \end{eqnarray*}$ überein.

Offensichtlich auch die Realteile, welche für $\begin{eqnarray*} u'_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v'_y \end{eqnarray*}$ stehen.

Das sollte reichen, oder?

Mich stört, dass die partiellen Ableitung nur uneigentlich existieren.

Ist das egal für die Gleichheit der Cauchy Riemann Gleichungen. bzw. müssen die partiellen Ableitungen existieren?

21.10.2014, 19:40

Che Netzer

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Zitat:

Original von Romaxx
Ich habe nun einmal den Differenzenquotienten von f in z=0 gebildet und dabei kommt folgendes für h -> 0 , h komplex, heraus:

$\begin{eqnarray*} \frac{(h_x+i*h_y)^5(h_x-i*h_y)}{((h_x)^2+(h_y)^2)^4} \end{eqnarray*}$

Nicht ganz. Unten hast du eine Wurzel vergessen und wieso steht da noch $\begin{eqnarray*} \overline h \end{eqnarray*}$ im Zähler? Stattdessen müsstest du für den Differentialquotienten nochmal durch $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ teilen.

Zitat:

müssen die partiellen Ableitungen existieren?

Ja, sonst wäre die Funktion ja gar nicht differenzierbar.

21.10.2014, 20:20

Romaxx

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Danke, jetzt hab ichs! smile

Ergibt jeweils 1.

Grüße

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