Flächeninhalt unter einer Funktion

17.08.2004, 12:55

Janosch

Flächeninhalt unter einer Funktion

Hallo,

ich stecke bei dieser Aufgabe fest... wer kann helfen??

Das folgende Polynom dritten Grades

f(x)=x³-6x²+9x-2

hat ein Minimum im Punkt M und einen Wendepunkt im Punkt W.
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von der Strecke WM und der Kurve begrenzt wird.

Vielen Dank.

17.08.2004, 13:00

kurellajunior

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RE: Flächeninhalt unter einer Funktion
Hallo,

Also als ANsatz vielleicht: Das rechtwinklige Dreieck mit M und W als Eckpunkte minus die Fläche unter der Kurve zwischen den x-Werten von M und W. (Dazu muss man natürlich M und W bestimmen Augenzwinkern

)

20.08.2004, 15:33

Janosch

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RE: Flächeninhalt unter einer Funktion
hallo nochmal...

erstmal danke für die hilfe.

Bin nun ein Stück weiter.
Hier mal meine rechnung...

f(x)=x³-6x²+9x-2
f'(x)=3x²-12x+9
f''(x)=6x-12
f'''(x)=6

Extremwerte:
Nebenbedingung: f'(x)=0
Hauptbedingung: f''(x)!=0 (wenn f''(x)>0 dann MIN und wenn f''(x)<0 dann MAX)

f'(x)=0=3x²-12x+9
x1=3 => f''(3)= 6 => Min.
x2=1 => f''(1)= -6 => Max.

f(3)=-2
f(1)=2

Minimum(3,-2) und Maximum (1,2)

Wendepunkt:
Nebenbedingung: f''(x)=0
Hauptbedingung: f'''(x)!=0

f''(x)=0=6x-12
x=2

f(2)=0 (Nullstelle!)

Wendepunkt (0,2)

Die Strecke WM haben wir nun. Bleiben aber noch Schwierigkeiten beim Integrieren. Könnte mir da jemand helfen... ??

20.08.2004, 15:50

kurellajunior

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RE: Flächeninhalt unter einer Funktion
Hi

Integration leicht und kurz:
$\begin{eqnarray*} \int~x^n~dx= \frac{x^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray*}$
Bei Summen darfst Du jeden Summanden einzeln integrieren.
Hilft das, oder weißt du generell nicht wie man Flächen unter Kurven berechnet?

20.08.2004, 15:51

Gnu

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Schau mal auf Deine Wendepunktskoordinaten, da is Dir ein Fehler passiert, nur ein kleiner Zahlendreher....

Jetzt musst Du erstmal mit Hilfe des Differenzenquotienten $\begin{eqnarray*} m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \end{eqnarray*}$ die Steigung der Strecke WM bestimmen und dann auf die normale Geradeform $\begin{eqnarray*} y_1=mx+t \end{eqnarray*}$ bringen indem Du dann einen Punkt einsetzt und den Achsenabschnitt t ermittelst.
Dann integrierst du $\begin{eqnarray*} f(x) - y_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} y_1-f(x) \end{eqnarray*}$ -ich eben weiß jetzt nicht welcher Graph "höher" liegt, ich sehs mir gleich mal an - vom Wendepunkt zum Minimum....

20.08.2004, 16:16

Janosch

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hi,

erstma zum Wendepunk:

dankeschön, heißt natürlich (2,0)...

und nun zum Integral:

bin mir sehr unsicher bei der Stammfunktion...
F(x)= (4x^4/4)-2x³+4,5x²-2x ??

die Funktion der Strecke WM:
f(x)=mx+t
m=-4/3 ? => f(x)=-4/3x+t => 3=-4+t => t=7 ??
f(x)=(-3/4)x+7 ???

Tja, aber nun... hier klemmts wieder...

PS: Gibts hier irgendwo nen guten LATECH-Craschkurs??

Habt abermals vielen Dank für Eure Hilfe...

20.08.2004, 16:44

Gnu

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Also, wir haben:

Strecke WM von W(2/0) nach M(3/-2)

Einsetzen in den Differenzenquotienten ergibt:

$\begin{eqnarray*} m=\frac{-2-0}{3-2}=\frac{-2}{1}=-2=>m=-2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =>t(x): y=-2*x+t \end{eqnarray*}$ - Ich hab die Gerade mal einfach t(x) genannt....

Jetzt einen der Punkte einsetzen, der einfachheit halber nehmen wir W:

$\begin{eqnarray*} 0=-2*2+t=>0=-4+t=>t=-4=>t(x)=-2x+4 \end{eqnarray*}$

Jetzt müssen wir nur noch wissen welche der Kurven "höher" steht, da wir sonst zwar das richtige Ergebnis erhalten, aber mit umgedrehten Vorzeichen....man kann es entweder zeichnen oder man berechnet einen willkürlichen X Wert aus dem Intervall von 2 bis 3, ich bin mal so frei zu sagen dass ich hier ein Grafikprogramm hab und dass t(x) höher steht.

Jetzt erst $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{3}~t(x)-f(x)~dx \end{eqnarray*}$ berechnen, d.h. die beiden Funktionen subtrahieren und dann erst die Differenz integrieren, dann gehts einfacher...find ich...

Als Latex Crashkurs eignet sich der http://www.matheboard.de/formeleditor.php - Formeleditor

20.08.2004, 16:57

kurellajunior

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Zitat:

Original von Janosch
PS: Gibts hier irgendwo nen guten LATECH-Craschkurs??

Um den Formeleditor zu verwenden bietet sich der "Zitat"-Knopf an Augenzwinkern

Da kann man ne Menge abgucken. Ansonsten mal in Off-Topic nach $\begin{eqnarray*} \end{align*}\LaTeX\begin{align*} \end{eqnarray*}$ Threads gucken.

Die Staammfunktion ist eine richtige Lösung und zum weiterrechnen gedacht. Formal richtig müsstest Du noch ein +a ranhängen um zu verdeutlichen, dass es unendlich viele gibt. Wie gesagt nur als Anmerkung.

20.08.2004, 18:09

Janosch

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Hallo,

ich hoffe, wir haben es nun bald...

hier nochmal der kompl. Rechenweg...

f(x)=x³-6x²+9x-2
f'(x)=3x²-12x+9
f''(x)=6x-12
f'''(x)=6
F(x)= (4x4/4)-2x³+4,5x²-2x

Extremwerte:
Nebenbedingung: f'(x)=0
Hauptbedingung: f''(x)!=0 (wenn f''(x)>0 dann MIN und wenn f''(x)<0 dann MAX)

f'(x)=0=3x²-12x+9
x1=3 => f''(3)= 6 => Min.
x2=1 => f''(1)= -6 => Max.

f(3)=-2
f(1)=2

Minimum (3,-2) und Maximum (1,2)

Wendepunkt:
Nebenbedingung: f''(x)=0
Hauptbedingung: f'''(x)!=0

f''(x)=0=6x-12
x=2

f(2)=0 (Nullstelle!)

Wendepunkt (2,0)

Strecke WM von W(2,0) nach M(3,-2) => g(x)= mx+a
Einsetzen in den Differenzquotienten ergibt: m=-2
Im Punkt W eingesetz ergibtt: a=4
g(x)=-2x+4

Flächeninhalt:
A= $\begin{eqnarray*} \int_{2}^{3}~g(x)-f(x)~dx \end{eqnarray*}$ =[(4x4/4)-2x³+4,5x²-4]=(71-54+121,5-4)-(16-16+20-4)=134,5-16=118,5 ????

Ich habe irgendwie das Gefühl, daß sich hier noch eins, zwei Denkfehler eingeschlichen haben könnten...

20.08.2004, 19:35

Gnu

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Also, ich nehm mal das mit g(x) an:

Dann folgt:

$\begin{eqnarray*} A=\int_{2}^{3}~(g(x)-f(x))~dx=\int_{2}^{3}~((-2x+4)-(x^3-6x^2+9x-2))~dx=\int_{2}^{3}~(-2x+4-x^3+6x^2-9x+2)~dx \end{eqnarray*}$

Immer auf die Umkehrung der Vorzeichen bei einem - vor der Klammer achten!

$\begin{eqnarray*} A=\int_{2}^{3}~(-x^3+6x^2-11x+2)~dx \end{eqnarray*}$ Und jetzt einfach integrieren.

Ich würde generell dazu raten erst die Funktionen zu subtrahieren und dann zu integrieren.

20.08.2004, 19:40

Janosch

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Habe es jetzt (endlich) verstanden.

Danke nochmals.

20.08.2004, 20:17

kurellajunior

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Hi,

Schön, mit dem Verstehen, aber ein kleines Problemchen ist da noch...
Bei Flächen zwischen zwei Kurven ist es nicht nur notwendig herauszubekommen, welche "oben" liegt (negative Flächen sind nur Interpretationssache) sondern ob sie sich schneiden. Du kannst nicht einfach $\begin{eqnarray*} f(x)-g(x) \end{eqnarray*}$ oder so rechnen, ohne überprüft zu haben, ob es im entsprechenden Intervall weitere Schnittpunkte gibt.
Ich kann Dich beruhigen, gibt es nicht:

Beim nächsten Mal hätte die Aufgabe aber auch auf die beiden Extrema fallen können...

In dieser Aufgabe reicht aus zu sagen, dass bei einer Funktion 3.Grades zwischen einem Extrema und dem einen Wendepunkt kein Krümmungswechsel vorliegt und dadurch kein Schnittpunkt mehr existiert. Der Vollständigleit halber solltest Du das aber erwähnen...

Bei anderen Aufgaben ist die zweite Funktion unter Umständen vorgegeben, dann ist es zwingend erforderlich auf Schnittstellen zu prüfen.

Liebe Grüße, Jan

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