Bestimmen von a,b als Lösung eines LGS

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TheKid Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen von a,b als Lösung eines LGS
Meine Frage:
Hallo zusammen,
ich verzweifel gerade etwas an einer Aufgabe für's Studium...
Vielleicht kann mir ja hier jemand weiterhelfen.

Ich habe folgende Aufgabe:

Prüfen Sie, für welche a, b ? R das (über R gegebene) lineare Gleichungssystem
x1+ 2x2?x4= 2
x1+ 2x2+x3+x4 = 1
2x1+ 4x2+x3+ax4= 5
?2x1?4x2+ 3x3?4x4=b
lösbar ist, und bestimmen Sie im Fall der Lösbarkeit die Lösungsmenge.


Meine Ideen:
Mein Ansatz wäre nun, die Gleichungen in die Koeffizentenmatrix zu schreiben und nach Gauß in die TNF zu bringen.
Dann hätte ich zumindest schonmal den Rang bestimmt und könnte sagen ob es eine/keine oder mehrere Lösungen gibt.

Mein größtes Problem sind allerdings die beiden unbekannten a,b (vorallem A). Ich weiß nicht wie ich das A in TNF überführen soll.

Einfaches einsetzen wäre ja glücksspiel, zumal ich denke, das a,b in irgendeiner Abhängigkeit zueinander stehen müssen..

Vielen Dank im vorraus für konstruktive Vorschläge.
TheKid Auf diesen Beitrag antworten »

x1+ 2x2 - x4 = 2
x1+ 2x2 + x3 + x4 = 1
2x1+ 4x2 + x3 + ax4 = 5
-2x1 - 4x2+ 3x3 - 4x4 = b
Yakyu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen von a,b als Lösung eines LGS
Zitat:

Mein Ansatz wäre nun, die Gleichungen in die Koeffizentenmatrix zu schreiben und nach Gauß in die TNF zu bringen.

Dann mach das doch mal.

Zitat:
Mein größtes Problem sind allerdings die beiden unbekannten a,b (vorallem A). Ich weiß nicht wie ich das A in TNF überführen soll.

Du behandelst a und b wie reelle Zahlen. Nix mit einsetzen sondern nimm die mit. Wenn du eine Zeilenumformung machst, bei der du durch a oder b teilst denk daran, welchen Fall du ausschließen musst.

Zitat:

Dann hätte ich zumindest schonmal den Rang bestimmt und könnte sagen ob es eine/keine oder mehrere Lösungen gibt.

Nicht ganz, du kriegst den Rang in Abhängigkeit von a und/oder b. Du weißt ja welche Bedingungen gelten für die Anzahl der Lösungen eines LGS, drück diese dann durch die Abhängigkeit aus.
TheKid Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
erstmal vielen Dank für die Hilfe.

Ich habe jetzt die TNF gebildet (ich hoffe richtig).

Meine Schritte:
- -1 von Z1 zu Z2
- -2 von Z1 zu Z3
- 2 von Z1 zu Z4
- -1 von Z2 zu Z3
- -3 von Z2 zu Z4
- Tausch von Z3 und Z4
- Z3 mit -1/7 multipliziert
- 1 von Z3 zu Z1
- -2 von Z3 zu Z2

kommt am Ende auf:


die untere Matrix steht eigentlich rechts der ersten Matrix, klappt leider nicht so ganz.

kann das hin kommen? so wie ich das sehe habe ich 3 Pivotpositionen, also Rg(A) = 3.
Aber wie komme ich nun weiter?
TheKid Auf diesen Beitrag antworten »

a-4 in der Matrix müsste übrigens 0 sein, da sonst keine TNF, also kann ich wohl auf a = 4 schliessen?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun ja, das ist eher der Anlaß, die Fälle a=4 und a ungleich 4 zu unterscheiden. smile
 
 
TheKid Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Nun ja, das ist eher der Anlaß, die Fälle a=4 und a ungleich 4 zu unterscheiden. smile

Ich verstehe gerade nicht wirklich was gemeint ist.

a kann doch nur 4 sein, da ansonsten keine TNF zustande kommt.
wenn a ungleich 4 ist, existiert doch somit keine Lösung oder liege ich mit meinem (zugegeben bescheidenen) Mathematikwissen falsch?
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Nun mal langsam. a ist erstmal beliebig. Und wenn a ungleich 4 ist, hast du in der Tat noch keine TNF. Die mußt dann dann eben noch herstellen. smile

Tipp am Rande: du brauchst nicht die komplette vorige Antwort zitieren. Sie steht ja für alle lesbar da. Augenzwinkern
TheKid Auf diesen Beitrag antworten »

okay, das leuchtet mir ein.
Aber wie stelle ich nun eine gültige TNF auf, wo doch a eine beliebige zahl in R ist?

Der Vorposter meinte doch, dass ich die TNF mit a aufstellen soll, ohne etwas einzusetzen?

Also ist mein Ergebnis die TNF wenn a = 4 ist.
Für den Fall das a ungleich 4 ist, muss es also eine weitere TNF geben, richtig?

da ich aber herausfinden soll, für welche a,b das LGS lösbar ist, muss ich ja am ende nach a und b auflösen können, bzw deren Lösungsmenge bestimmen. um das zu können, muss ich ja auch x1,x2,x3,x4 bestimmen. wobei x1 bis x4 ja eigentlich der rechten spalte entsprechen sollte.

irgendwie stehe ich gewaltig auf dem Schlauch traurig
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TheKid
Der Vorposter meinte doch, dass ich die TNF mit a aufstellen soll, ohne etwas einzusetzen?

Das hindert aber nicht daran, für a gewisse Fälle zu unterscheiden.

Zitat:
Original von TheKid
Also ist mein Ergebnis die TNF wenn a = 4 ist.
Für den Fall das a ungleich 4 ist, muss es also eine weitere TNF geben, richtig?

Ja.

Zitat:
Original von TheKid
da ich aber herausfinden soll, für welche a,b das LGS lösbar ist, muss ich ja am ende nach a und b auflösen können, bzw deren Lösungsmenge bestimmen. um das zu können, muss ich ja auch x1,x2,x3,x4 bestimmen.

Die Lösungen x1,x2,x3,x4 werden irgendwie von a und b abhängig sein. Wie diese Abhängigkeit aussieht und wann überhaupt Lösungen existieren, mußt du eben herausfinden.
TheKid Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habs jetzt mal probiert, eine TNF zu finden für a ungleich 4.
Im Prinzip ist es ja nur ein weiterer Schritt, nämlich das -a fache von Z3 zu Z4 zu addieren. Je nach A erhalte ich dann natürlich ein unterschiedliches ergebnis rechts der matrix, aufstellen könnte man das mit 2-a.
Links der Matrix ist die letzte Zeile aber stets 0 0 0 0, also genauso als wenn a = 4 wäre.

aber was mache ich nun mit dieser erkenntnis, zu mal sie mir nicht richtig vorkommt...
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TheKid
Im Prinzip ist es ja nur ein weiterer Schritt, nämlich das -a fache von Z3 zu Z4 zu addieren.

Also ausgehend von der Matrix, die du gepostet hast, müßtest du das (4-a) der 3. Zeile zur 4. Zeile addieren.

Zitat:
Original von TheKid
Links der Matrix ist die letzte Zeile aber stets 0 0 0 0, also genauso als wenn a = 4 wäre.

Es kommt aber auch darauf an, was auf der rechten Seite steht. Und was steht im Fall a=4 da? Was sagt das folglich zur Lösbarkeit?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TheKid
- Z3 mit -1/7 multipliziert

Erstaunt1

Nenne doch bitte mal das Tableau unmittelbar vor diesem Schritt - mir scheint da ein Rechenfehler vorzuliegen.
TheKid Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das a - 4 fache.

bei a = 4 steht rechts 2
bei a ungleich 4 steht rechts 2 + (a - 4)

nur wie komm ich davon auf die lösbarkeit/lösungsmenge, wenn ich doch a nicht einsetzen soll.
theoretisch müsste es ja lösbar sein, je nachdem was x1,x2,x3,x4 ergibt. richtig?
TheKid Auf diesen Beitrag antworten »

vor diesem Schritt mit der "Multipliziere Z3 mit -1/7" habe ich:

klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zum einen müßtest du dann auf der linken Seite eine -1 erhalten, zum anderen ist dann die rechte Seite falsch. Ich würde mir auch diesen Schritt schenken. Man muß ja nicht unbedingt Einsen produzieren.

@HAL 9000: danke für den Hinweis. smile

EDIT: das wird ja immer besser. verwirrt

EDIT 2: @HAL 9000: wir müssen uns jetzt einigen, wer das nachrechnet.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, und ich komme bei genau der gleichen Berechnungsfolge wie von dir oben beschrieben da abweichend auf



(Mindestens) einer von uns wird sich da wohl verrechnet haben.
TheKid Auf diesen Beitrag antworten »

Also habe ich in der vorherigen Berechnung einen Fehler gemacht?

Dabei hab ich es extra mit unserem Studiumsrechner probiert, den wir als hilfe gegen Fehleranfälligkeit benutzen dürfen unglücklich
Muss wohl daran liegen, dass der nicht mit variablen zurecht kommt.. (hatte für die variablen 0 eingesetzt, den Teil mit den Variablen dann selbst eingebaut).

Also ist die TNF an sich schonmal falsch?
Ist den mein vorgehen grundsätzlich richtig?
Also:
1. TNF vom LGS bilden
2. Rang des TNF bestimmen (wegen der Lösbarkeit)
3. x1 bis x4 aus der Rechten seite der TNF ablesen und einsetzen
4. Nach a bzw. b auflösen
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TheKid
Muss wohl daran liegen, dass der nicht mit variablen zurecht kommt.. (hatte für die variablen 0 eingesetzt, den Teil mit den Variablen dann selbst eingebaut).

Ah ja, und diesen Verfahren soll dann fehlerfrei funktionieren? verwirrt

Zitat:
Original von TheKid
4. Nach a bzw. b auflösen

Du hast es immer noch nicht verstanden. a und b bestimmen sowohl Rang als auch Lösbarkeit des GLS. Deine Lösungen für x1 bis x4 hängen dann irgendwie von a und b ab.

Im übrigen komme ich bei den Umformungen auf das gleiche Ergebnis wie HAL 9000.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von klarsoweit
Im übrigen komme ich bei den Umformungen auf das gleiche Ergebnis wie HAL 9000.

Womit ich mich beruhigt wieder zurückziehen kann. Wink
TheKid Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist die TNF, wenn ich versuche das Ergebnis von HAL9000 in die TNF zu bringen, also:



richtig?

Hat dann ebenfalls Rg(A) = 3.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Die Beantwortung der Frage nach dem Rang ist abhängig von dem Wert von a. Also - und da wiederhole ich mich irgendwie - mußt du eine entsprechende Fallunterscheidung machen.

Im übrigen ist das Pressen der Matrix in die TNF nicht wirklich hilfreich. Das führt nur zu lästigen Brüchen und fehlerhaften Rechnungen. Das sieht man auch daran, daß die 3. Zeile auf der rechten Seite wiederum falsch ist. smile
TheKid Auf diesen Beitrag antworten »

also ergibt sich der Rang jenachdem welchen Wert variable a hat?
Ich dachte der Rang ergibt sich aus der Anzahl der Pivotpositionen (1/2, 2/4, 4/8 usw.)?
Dann wäre a doch keine mögliche Pivotposition?

Müsste die rechte Spalte "(b+7)/12" heißen? Dann hab ich mich nämlich abermals mit der Variablen vertan...

Benötige ich den gar keine TNF?
Also ich hab das bisher so im Script gelesen, ich wüsste auch nicht wie ich es ohne TNF lösen sollte.

Ich kenne es nur so (Variablen wie a,b sind das erste Mal in einer Aufgabe), das man die TNF bildet und x1-x4 dann die Rechte seite sind. Das kann man einsetzen und "Probe" rechnen, passt dann meistens auch, wenn ich mir die vorherigen Aufgaben ansehe.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von TheKid
also ergibt sich der Rang jenachdem welchen Wert variable a hat?

Ja.

Zitat:
Original von TheKid
Ich dachte der Rang ergibt sich aus der Anzahl der Pivotpositionen (1/2, 2/4, 4/8 usw.)?
Dann wäre a doch keine mögliche Pivotposition?

Verstehe nicht, was du meinst.

Zitat:
Original von TheKid
Müsste die rechte Spalte "(b+7)/12" heißen? Dann hab ich mich nämlich abermals mit der Variablen vertan...

Richtig ist (b+7)/(-12) .

Zitat:
Original von TheKid
Benötige ich den gar keine TNF?
Also ich hab das bisher so im Script gelesen, ich wüsste auch nicht wie ich es ohne TNF lösen sollte.

Eine TNF ist nicht zwingend erforderlich. Vielleicht ist dein Prof ein Fan davon, ich eher nicht. Ausreichend ist eine Treppenform, bei der lediglich unterhalb dem ersten nicht-Null-Element jeder Zeile Nullen stehen. Eine 1 als erstes nicht-Null-Element ist nicht erforderlich. (Wird auch als Zeilenstufenform bezeichnet.)

Zitat:
Original von TheKid
Ich kenne es nur so (Variablen wie a,b sind das erste Mal in einer Aufgabe), das man die TNF bildet und x1-x4 dann die Rechte seite sind. Das kann man einsetzen und "Probe" rechnen, passt dann meistens auch, wenn ich mir die vorherigen Aufgaben ansehe.

Wie gesagt: das kann man so machen, muß es aber nicht. Zur Bestimmung der speziellen Lösung von x1-x4 muß man dann natürlich noch entsprechende Divisionen machen. Das entspricht dann implizit der TNF. Zur Bestimmung der homogenen Lösung ist die TNF unter Umständen wegen auftretender Brüche ggf. unhandlich.
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