Lotto Nachbarn

21.10.2014, 17:43

Maxchen789

Lotto Nachbarn

Hallo, ich habe hier diese Aufgabe:
Ich habe zwar bereits die Lösungen gefunden aber ich verstehe nicht wie man sie herleitet.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit im Lotto 6 aus 45 genau ein Nachbarpärchen zu ziehen? (22,23)
Sei x_i die gezogenen Zahlen i€1-6
Man sieht, dass 1 und 45 nur einen Nachbarn haben und die restlichen Zahlen jeweils zwei Nachbarn.
Desweiteren kann ich die Bedingung: |x_i -x_j| =1aufstellen , für alle Zahlen größer eins und kleiner 45.
Mein Ergebnisraum ist 45 über 6.
Aber wie kann ich jetzt die günstigen Möglichkeiten berechnen?

Für 1<x_i<45 kann ich eine Wahrscheinlichkeit für jedes x_i mit 2/44 (44, da ja bereits eine gezogen wurde)
und für x_i =1 oder 45 wäre die Wahrscheinlichkeit 1/44.

Wahrscheinlichkeit genau einen Drilling, auch keine zwei benachtbarten zu ziehen?

Kann mir da bitte jemand helfen?

21.10.2014, 18:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von Maxchen789
Ich habe zwar bereits die Lösungen gefunden aber ich verstehe nicht wie man sie herleitet.

Und das wäre? Vielleicht

$\begin{align*} \frac{5\cdot \binom{40}{5}}{\binom{45}{6}} = \frac{54\,834}{135\,751}\approx 40.393\% \end{align*}$ ?

21.10.2014, 18:40

Dopap

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ich überlege so:

Sei $\begin{eqnarray*} \overline A \end{eqnarray*}$ das Ereignis daß keine Nachbarn vorkommen. Ich denke mir die Zahlen 1 bis 49 als eine Reihe von Kugeln. Die 43 nicht gezogenen Kugeln weiß, die gezogenen schwarz. Keine 2 schwarzen Kugeln dürfen benachbart sein. Daher gibt es für sie 44 Plätze. Man kann von diesen 44 Plätzen 6 Plätze auf $\begin{eqnarray*} \binom {44}{ 6} \end{eqnarray*}$ Arten auswählen.
Daher gibt es mindestens 2 Nachbarn mit

$\begin{eqnarray*} p(A)=1-p(\overline A)= 1-\frac {\binom {44 }{6} }{ \binom {49}{6} }\approx 0.495 \end{eqnarray*}$

21.10.2014, 19:02

HAL 9000

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Abgesehen von der Kleinigkeit, dass wir hier "6 aus 45" statt "6 aus 49" haben, berechnest du die richtige Wahrscheinlichkeit für "mindestens ein Nachbarpärchen" (ggfs. auch Drillinge oder noch mehr).

Wenn ich Maxchen789 richtig verstanden habe, will er aber nur genau ein Pärchen (und keine Drillinge o.ä.).

21.10.2014, 19:18

Maxchen789

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Ja, es soll genau ein Nachbar gezogen werden.

Jup, genau die Lösung von HAL habe ich ebenfalls gefunden.
Aber eine Lösung bringt mir herzlich wenig wenn ich sie nicht herleiten kann.

Hier ist die Herleitung in etwa so:

$\begin{eqnarray*} \left\{ x_{1},...x_{6}\right\} \Rightarrow \left\{ x_{1},x_{2}-1,x_{3}-2,x_{4}-3,x_{5}-4,x_{6}-5\right\} \end{eqnarray*}$
Wo ich schon keine Ahnung habe wo das herkommt.

Und für jeden Zwilling gilt: x_2=x_1+1.
Und dann gehts zur Formel (40 über 5)

Ich kann mir nicht erklären wie das zu stande kommt.

21.10.2014, 19:25

HAL 9000

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Ich hatte in etwa dieselbe Idee:

Sei wie bei dir $\begin{align*} 1\leq x_1<x_2<\ldots < x_6\leq 45 \end{align*}$ .

Für genau ein $\begin{align*} i_0\in \{1,\ldots,5\} \end{align*}$ soll nun $\begin{align*} x_{i_0+1}=x_{i_0}+1 \end{align*}$ gelten, für alle anderen $\begin{align*} i\neq i_0 \end{align*}$ muss hingegen $\begin{align*} x_{i+1}\geq x_i+2 \end{align*}$ gelten.

Wir definieren damit nun

$\begin{align*} y_i = \begin{cases} x_i-i+1 & \;\mbox{für}\, 1\leq i\leq i_0 \\ x_{i+1}-i & \;\mbox{für}\, i_0<i\leq 5 \end{cases} \end{align*}$ ,

dann existiert eine Bijektion $\begin{align*} (x_1,\ldots,x_6) \leftrightarrow (i_0,(y_1,\ldots,y_5)) \end{align*}$ , und die Anzahl letzterer Tupel ist gleich $\begin{align*} 5\cdot \binom{40}{5} \end{align*}$ .

Vielleicht ist die "Rückrichtung" besser zu erkennen: Wir gehen von einem beliebigen aufsteigenden 5-Tupel $\begin{align*} (y_1,\ldots,y_5) \end{align*}$ von "5 aus 40", sowie einem beliebigen $\begin{align*} i_0\in\{1,\ldots,5\} \end{align*}$ aus und basteln daraus einen unserer Lottotips, indem wir von vorn beginnend jeweils Lücken einschieben, insgesamt vier - und anschließend einen der 5 Werte um seinen direkten Nachfolger zu ergänzen (und die folgenden entsprechend wieder verschieben).

Beispiel: $\begin{align*} (y_1,y_2,y_3,y_4,y_5) = (3,8,9,27,40) \end{align*}$ und $\begin{align*} i_0=3 \end{align*}$

(3,8,9,27,40)
(3,9,10,28,41)
(3,9,11,29,42)
(3,9,11,30,43)
(3,9,11,30,44)
(3,9,11,12,31,45) wegen $\begin{align*} i_0=3 \end{align*}$

21.10.2014, 21:57

Maxchen789

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Okay, ich gehs mal kurz durch.

i_0 ist element 1-5, da bereits eines gezogen wurde.
Und i ist dann halt aus 1-6

$\begin{eqnarray*} x_{i0+1} = x_{i0}+1 \end{eqnarray*}$
Ist die bedingung, dass der Nachfolgende Schein um eins größer ist.
Muss da nicht auch ein Minus stehen? zB (x,x9,8,xx)

$\begin{eqnarray*} x_{i+1} \geq x_{i}+2 \end{eqnarray*}$
Hmm, ist wohl die Bedingung, dass ich nicht mehr als ein Pärchen hab.

Warum du jetzt die Unterscheidung bei y machst ist mir nicht klar, genauso wie die Bijektion.

Dann sehe ich noch, dass es ja eine fünfelementige Menge ist. Sprich (x1+x2,x2+x3 usw) und daher wohl die fünf herkommt.
Aber warum dann 40 über 5?

21.10.2014, 22:04

HAL 9000

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Zitat:

Original von Maxchen789
$\begin{eqnarray*} x_{i0+1} = x_{i0}+1 \end{eqnarray*}$
Ist die bedingung, dass der Nachfolgende Schein um eins größer ist.
Muss da nicht auch ein Minus stehen? zB (x,x9,8,xx)

Da ich nur aufsteigende Tupel betrachte: NEIN.

Zitat:

Original von Maxchen789
$\begin{eqnarray*} x_{i+1} \geq x_{i}+2 \end{eqnarray*}$
Hmm, ist wohl die Bedingung, dass ich nicht mehr als ein Pärchen hab.

So ist es.

Zitat:

Original von Maxchen789
Aber warum dann 40 über 5?

Für das letzte y-Tupelelement gilt $\begin{align*} y_5=x_6-5 \end{align*}$ (falls $\begin{align*} i_0\leq 4 \end{align*}$ ), also wegen $\begin{align*} x_6\leq 45 \end{align*}$ dann folglich $\begin{align*} y_5\leq 40 \end{align*}$ .

Und im Fall $\begin{align*} i_0=5 \end{align*}$ haben wir abweichend davon $\begin{align*} y_5=x_5-4 \end{align*}$ , dort ist aber $\begin{align*} x_5 < x_6\leq 45 \end{align*}$ , also $\begin{align*} x_5\leq 44 \end{align*}$ , was wiederum zu $\begin{align*} y_5\leq 40 \end{align*}$ führt.

P.S.: Es ist sicher nicht einfach, diese Bijektion zu verstehen - vielleicht schaust du dir noch an ein paar Beispielen an, wie die wirkt (in beide Richtungen).

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