Folge mit Potenz Grenzwert bestimmen

21.10.2014, 18:00

Droid

Folge mit Potenz Grenzwert bestimmen

Hallo zusammen,

diese Folge soll ich darauf untersuchen, ob sie Konvergent ist und dann den Grenzwert bestimmen:
\frac{4^n+1}{5^n}
Wie soll ich nun vorgehen, ich habe keine Idee wie ich das lösen soll.

Evtl. mit dem Logarithmus die Potenz wegbekommen? Mit (1/5^n) erweitern?

Wäre sehr dankbar für jede Hilfe!

21.10.2014, 19:16

bijektion

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Also $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{4^n+1}{5^n} \end{eqnarray*}$ ?
Zuerst könntest du $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{5})^n \end{eqnarray*}$ faktorisieren.

21.10.2014, 20:03

Droid

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Hi,

ups, da hat was mit der Formeldarstellung nicht geklappt - sorry!

Aber ja, das ist die Aufgabe.
Ah ok, dann bekomme ich das:
$\begin{eqnarray*} \frac{(\frac{4}{5})^n+(\frac{1}{5})^n}{1} \end{eqnarray*}$

Irgendwo habe ich gelesen, dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x^n =0 \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} \forall x<1 \end{eqnarray*}$

Dann bekomme ich:
$\begin{eqnarray*} =\frac{0}{1}=0 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? Woher kommt aber nun die oben genannte Definition?

MfG

21.10.2014, 20:07

bijektion

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x^n =0 \end{eqnarray*}$ ... $\begin{eqnarray*} \forall x<1 \end{eqnarray*}$

Nicht ganz, $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x^n =0 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ .
Das Ergebnis stimmt aber.

Zitat:

Woher kommt aber nun die oben genannte Definition?

Ich sehe keine Definition?

21.10.2014, 20:09

Droid

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Zitat:

Original von bijektion
Nicht ganz, $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } x^n =0 \end{eqnarray*}$ falls $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ .
Das Ergebnis stimmt aber.

Von wo kommt das nun aber? Wie kann ich das Beweisen?

Gruss

21.10.2014, 20:12

bijektion

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O.B.d.A. können wir zuerst mal $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ annehmen. Dann gibt es $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{1+y} \end{eqnarray*}$ .
Damit folgt: $\begin{eqnarray*} 0\leq x^n = (\frac{1}{1+y})^n \leq \frac{1}{1+n\cdot y} \end{eqnarray*}$ und daraus lässt sich die Behauptung schließen.

21.10.2014, 20:27

Droid

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die erste Zeile habe ich verstanden
wir definieren unser x, sodass es zwischen 0 und 1 liegt (Annahme)

Mit dem y testen wir, was passiert, wenn wir grösser als 1 mit dem x sind.
Wieso aber nun grösser gleich?
$\begin{eqnarray*} x^n=(\frac{1}{1+y})^n \end{eqnarray*}$ das ist klar
aber der letzte Ausdruck nicht.

Vielen Dank

21.10.2014, 21:23

bijektion

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Zitat:

Mit dem y testen wir, was passiert, wenn wir grösser als 1 mit dem x sind.

Nein. Wenn $\begin{eqnarray*} 0<x<1 \end{eqnarray*}$ gilt, lässt sich das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{1+y} \end{eqnarray*}$ mit einem geeigneten $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ darstellen.
Beispiel: $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , dann wähle $\begin{eqnarray*} y=1 \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{n+1} \end{eqnarray*}$ dann wähle $\begin{eqnarray*} y=n \end{eqnarray*}$ .

Dann benötigst du die Bernoulli-Ungl., das heißt für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N}_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z>-1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (1+z)^n\geq 1+n\cdot z \end{eqnarray*}$ .

21.10.2014, 22:07

Droid

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Ok, und nun kann man mit dem Sandwitch-Theorem zeigen, dass x gegen Null konvergiert, da:
\lim_{n \to \infty } \frac{1}{n+1} = 0

Vielen Dank dir!

MfG

21.10.2014, 22:09

Droid

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Ok, und nun kann man mit dem Sandwitch-Theorem zeigen, dass x gegen Null konvergiert, da:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{1}{n+1} = 0 \end{eqnarray*}$

Vielen Dank dir!

MfG

(sry fuer den Doppelpost)

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