Beweis der Konvergenz einer Folge sowie die Berechnung des Grenzwerts

21.10.2014, 18:01

sarrymast

Beweis der Konvergenz einer Folge sowie die Berechnung des Grenzwerts

Guten Abend Matheboard,

Ich habe folgende Problemstellung und finde keinen Lösungsansatz:

Frage:
Beweisen Sie, dass die Folge $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ konvergiert und berechnen Sie Ihren Grenzwert:

$\begin{eqnarray*} a_{1}=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_{n+1}= \frac{a_{n}+1}{a_{n}+2} \end{eqnarray*}$

Wie ja schon angedeutet habe ich keinen fruchtenden Ansatz,
die Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ verwirrt mich total.
Ich hab mir überlegt, dass $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend und beschränkt sein muss, daraus folgt ja, dass sie konvergiert, aber 1. weiß ich nicht, wie ich das beweisen soll und 2. macht mich die oben genannte Abhängigkeit konfus, so dass ich keine Idee bzgl. des Grenzwerts habe.

Danke für eure Hilfe!

21.10.2014, 19:12

bijektion

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Um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ monoton und beschränkt ist, kannst du etwa vollständige Induktion nutzen.
Der Grenzwert lässt sich dann letztlich bestimmen, indem man $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} a_n =\lim_{n\to\infty} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ nutzt.

21.10.2014, 19:29

sarrymast

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Danke für die Antwort,

eine Frage hätte ich allerdings noch:

Ich habe bisher lediglich Beweise mit $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in der Form einer Zahl durchgeführt. Wie verhält sich das wenn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nun für ein Glied einer Folge und nicht für eine eigentliche Zahl steht?
Ich kann ja keine mathematischen Aktionen mit $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ bzw. mit $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ durchführen, jedenfalls wüsste ich nicht wie.

Danke

21.10.2014, 19:39

bijektion

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Zitat:

Ich kann ja keine mathematischen Aktionen mit $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ bzw. mit $\begin{eqnarray*} a_{n+1} \end{eqnarray*}$ durchführen, jedenfalls wüsste ich nicht wie.

Doch kannst du smile

Fang doch mal mit den Schranken an. Wodurch könnte $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ beschränkt sein?

21.10.2014, 20:13

sarrymast

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Also nach oben muss es auf jeden Fall beschränkt sein, da es sich bei $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ ja in jedem Fall um einen echten Bruch handelt, daher $\begin{eqnarray*} a_{n}<1 \end{eqnarray*}$ kann ich das noch weiter einschränken?
Für die Untere Schranke würde ich sagen, dass wenn $\begin{eqnarray*} a_{n}=0 \end{eqnarray*}$ müsste $\begin{eqnarray*} a_{n+1} = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sein, allerdings kann $\begin{eqnarray*} a_{n}=0 \end{eqnarray*}$ ja nicht sein... Ich bin verwirrt

21.10.2014, 20:15

bijektion

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Man erkennt ja recht schnell, dass $\begin{eqnarray*} 0\leq a_n\leq 1 \end{eqnarray*}$ gelten muss, die Gründe hast du schon genannt. Aber für kein $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} a_n=0 \end{eqnarray*}$ , denn dann müsste $\begin{eqnarray*} a_{n-1}=-1 \end{eqnarray*}$ gelten.

21.10.2014, 20:26

sarrymast

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Und wie helfen mir die Schranken für die Induktion? verwirrt

21.10.2014, 21:25

bijektion

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Du willst jetzt zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (a_n) \end{eqnarray*}$ monoton fällt.

IA: $\begin{eqnarray*} a_1=1\geq \frac{2}{3}=a_2 \end{eqnarray*}$ .
IV: $\begin{eqnarray*} a_{n-1}\geq a_n \end{eqnarray*}$ .
IS: $\begin{eqnarray*} a_n\geq a_{n+1} \end{eqnarray*}$ ist zu zeigen, jetzt erstmal die Definition anwenden.

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