Ausgleichsebene durch Punktewolke

21.10.2014, 20:54	Nobody-86	Auf diesen Beitrag antworten »
Ausgleichsebene durch Punktewolke Hallo, ich versuche gerade eine Ausgleichsebene durch eine Punktwolke zu legen. Schlussendlich möchte ich den Normalenvektor und einen Fußpunkt haben. Wichtig ist noch zu erwähnen die Ebene auch parallel zu der XY, YZ- oder YZ-Ebene liegen kann. Eine Funktion der Form $\begin{eqnarray} z=a x+b y \end{eqnarray}$ ist also nicht ausreichend. So habe ich angefangen: Die allgemeine Ebenengleichung lautet: $\begin{eqnarray} a x + b y + c z + d = 0 \end{eqnarray}$ Der Punkt $\begin{eqnarray} P_i \end{eqnarray}$ hat einen Abstand von der Ebene $\begin{eqnarray} l_i = \frac{a x_i + b y_i + c z_i + d}{\sqrt(a^2 + b^2 + c^2)} \end{eqnarray}$ Nun suche ich die Ebene bei der die SUmme der quadratische Abstände minimal wird $\begin{eqnarray} \sum l_i^2 \rightarrow \text{min} \end{eqnarray}$ Dabei ist $\begin{eqnarray} l_i^2 = \frac{(a x_i + b y_i + c z_i + d)^2}{a^2 + b^2 + c^2} \end{eqnarray}$ Da $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ konstant sind, bin ich der Meinung dass das Minimum von $\begin{eqnarray} l_i^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} l_i^2 \cdot (a^2 + b^2 + c^2) \end{eqnarray}$ an der selben stelle zu finden ist. Daher vernachlässige ich die "Normierung". Nun leite ich $\begin{eqnarray} l_i^2 \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ ab und erhalte die folgenden vier Gleichungssysteme: $\begin{eqnarray} \sum \frac{d}{d a} l_i^2 =\sum ( 2 a x_i^2 + 2 b x_i y_i + 2 c x_i z_i + 2 d x_i ) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum \frac{d}{d b} l_i^2 =\sum ( 2 b y_i^2 + 2 a x_i y_i + 2 c y_i z_i + 2 d y_i ) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum \frac{d}{d c} l_i^2 =\sum ( 2 c z_i^2 + 2 a x_i z_i + 2 b y_i z_i + 2 d z_i ) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sum \frac{d}{d d} l_i^2 =\sum ( 2 d + 2 a x_i + 2 b y_i + 2 c z_i ) = 0 \end{eqnarray}$ bzw. in Matrizenschreibweise $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix}<br /> \sum x_i^2 & \sum x_i y_i & \sum x_i z_i & \sum x_i \\<br /> \sum x_i y_i & \sum y_i^2 & \sum y_i z_i & \sum y_i \\<br /> \sum x_i z_i & \sum y_i z_i & \sum z_i^2 & \sum z_i \\<br /> \sum x_i & \sum y_i & \sum z_i & 1<br /> \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d<br /> \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0<br /> \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ Leider bekomme ich aus diesem Gleichungssystem nur die triviale Lösung $\begin{eqnarray} a=b=c=d=0 \end{eqnarray}$ . Beim Rumspielen mit verschiedenen Punktwolken habe ich festgestellt das ich den korrekten Normalevektor herausbekommen wenn ich die Matrizengleichung so aufstelle $\begin{eqnarray} \begin{bmatrix}<br /> \sum x_i^2 & \sum x_i y_i & \sum x_i z_i & \sum x_i \\<br /> \sum x_i y_i & \sum y_i^2 & \sum y_i z_i & \sum y_i \\<br /> \sum x_i z_i & \sum y_i z_i & \sum z_i^2 & \sum z_i \\<br /> \sum x_i & \sum y_i & \sum z_i & 1<br /> \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ d<br /> \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1<br /> \end{bmatrix} \end{eqnarray}$ 1.) Warum ist das so? Ich kann es mir nicht erklären warum es mit einer 1 im Lösungsvektor funktioniert. 2.) Mir fehlt noch der Fußpunkt der Ebene. Danke fürs Lesen!
22.10.2014, 09:08	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ausgleichsebene durch Punktewolke Herzlich willkommen im Matheboard! Interessant, ich hatte neulich genau dasselbe Problem zu knacken. Mein Ansatz war hier allerdings lediglich $\begin{eqnarray} z=ax+by+c \end{eqnarray}$ Dadurch ist $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^n (ax_i+by_i+c-z_i)^2 \end{eqnarray}$ zu minimieren, und das ging über die Cramersche Regel recht einfach. Viele Grüße Steffen
22.10.2014, 18:12	Nobody-86	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Steffen, deinen Ansatz hatte ich auch mal gelöst. Leider bringt er mich bei meinem jetzigen Problem nicht weiter, da die Ebenen wie gesagt auch Parallel zu der XY-, YZ- oder YZ-Ebene liegen kann. Ich habe die Vermutung das ich einen Fehler begehe wenn ich die "normierung" $\begin{eqnarray} a^2 + b^2 + c^2 \end{eqnarray}$ vernachlässige. Wenn ich es aber nicht mache, sind die Ableitungen nicht mehr Lösbar (höchstens durch irgendeine Art von Iterationsverfahren). Es ist aber auch nur eine Vermutung, denn eigentlich sollte $\begin{eqnarray} l_i \end{eqnarray}$ an den selben Stellen ein Minimum haben wie $\begin{eqnarray} l_i \cdot \text{CONST} \end{eqnarray}$ .
22.10.2014, 18:22	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso sollte $\begin{align} a^2+b^2+c^2 \end{align}$ hier konstant sein, wenn doch $\begin{align} a,b,c \end{align}$ deine Variablen sind? Edit: Du kannst natürlich $\begin{align} a^2+b^2+c^2=1 \end{align}$ voraussetzen und suchst dann nach einem Extremum mit Nebenbedingung. Ob das via Lagrangemultiplikator analytisch lösbar ist, übersehe ich nicht.

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