Schwieriger Induktionsschritt

21.10.2014, 21:42

Albert2

Schwieriger Induktionsschritt

Meine Frage:
Hallo!
Zum ersten mal in meinem Leben weiß ich nicht, wie ich voran komme.
Ich soll folgendes per Induktion beweisen:
\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n}{2n+1}
Für n=1 kein Problem, aber beim Induktionsschritt n+1 fehlt mir vermutlich der richtige Gedanke/Ansatz.

Meine Ideen:
Egal ob ich links oder rechts anfange, ich weiß nicht wie ich die Brüche auf den richtigen Nenne berkomme.
Das einzige was natürlich sofort auffällt, ist, dass man den Nenner in der Summe des linken Terms durch \frac{1}{4k^2-1} ersetzen kann, allerdings bringt mir das nichts, ich denke es ist nichtmal nötig.

Ich hoffe, das mir jemande einen Tipp oder Ansatz geben kann!
Liebe Grüße,
Albert

21.10.2014, 21:46

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RE: Schwieriger Induktionsschritt
Schreib doch mal den Anfang deines Induktionsschritts auf, dann sehen wir weiter Wink

Edit: Um die Latex-Formel die tags

code:
1:	[l]

und

code:
1:	[/l]

nicht vergessen oder auf die Schltfläche "f(x)" klicken, um LATEX-Code einzugeben

21.10.2014, 21:56

Albert2

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Ups, Formel-Formatierung.. RIP

IA: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} = \frac{n}{2n+1} \end{eqnarray*}$
IV: n=1 ... lasse ich jetzt weg, das geht sehr einfach auf 1/3 = 1/3
IS:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2(n+1)-1)(2(n+1)+1)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \end{eqnarray*}$

Wie ich das jetzt auf den Nenner, den der rechts Term haben soll, nämlich

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{2(n+1)+1}=\frac{n+1}{2n+3} \end{eqnarray*}$

bringen soll, weiß ich leider nicht. Ein Kleiner Ansatz würde mir schon helfen, aber egal was ich danach noch versucht habe, schien mir sehr sinnlos. Zwar steht in beiden das Produkt (2n+3), doch wird dieses das eine mal noch mit (2n+1) multipliziert...

21.10.2014, 22:00

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Setze hier zunächst mal hier

Zitat:

Original von Albert2
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \end{eqnarray*}$

noch deine IA ein.

21.10.2014, 22:02

Albert2

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Zitat:

Original von URL
Setze hier zunächst mal hier

Zitat:

Original von Albert2
$\begin{eqnarray*} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \end{eqnarray*}$

noch deine IA ein.

hatte ich bereits gemacht, habs in der hektik vergessen zu schreiben, hatte es gerade editiert gehabt :')
also
$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \end{eqnarray*}$
sind wir gerade

21.10.2014, 22:07

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und weiter mit Hauptnenner, das liefert im Zähler $\begin{eqnarray*} n(2n+3)+1=n((2n+1)+2)+1 \end{eqnarray*}$

21.10.2014, 22:15

Albert2

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$\begin{eqnarray*} = \frac{n}{2n+1}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n(2n+3)}{(2n+1)(2n+3)}+\frac{1}{(2n+1)(2n+3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{n((2n+1)+2)+1}{(2n+1)(2n+3)} \end{eqnarray*}$

Bis zur Hälfte kam ich auf meinem Schmierblatt auch, bis auf den letzten Schritt... Ich hoffe du verrätst mir, was er mir bringt, weil ich wüsste damit nichts anzufangen smile