Basis von Bild(f)

22.10.2014, 08:35

ubik

Basis von Bild(f)

Hallo,

könnt ihr mir bitte bei einer Aufgabe helfen. Ich verstehe nicht ganz, wie ich die Basis vom Bild(f) bestimmen kann.

Ich habe folgende Abbildung:

Sei f: V -> W definiert durch f $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x + y & z \\ z & x + y \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z \end{pmatrix} \in M_{22}(\mathbb R) \end{eqnarray*}$

Also: Ich habe dann das Bild(f) bestimmt.

$\begin{eqnarray*} f \begin{pmatrix} x & y \\ 0 & z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x + y & z \\ z & x + y\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} (x + y) (x + y) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Bild(f) = $\begin{eqnarray*} \left\{ (x + y) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} : x, y, z \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Nur weiß ich leider nicht, wie man eine Basis bestimmt... :-(

Ist $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Basis von Bild(f)?

22.10.2014, 08:51

ubik

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ist ein (x+y) zuviel. Sollte nur einmal (x + y) sein.

22.10.2014, 09:37

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis von Bild(f)

Zitat:

Original von ubik
Bild(f) = $\begin{eqnarray*} \left\{ (x + y) \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} : x, y, z \in \mathbb R \right\} \end{eqnarray*}$

Das ist richtig und an dieser Darstellung kannst du die Basis doch direkt ablesen.

Vielleicht mache ich es noch deutlicher: Wenn x und y alle reellen Zahlen durchlaufen, dann durchläuft x+y auch alle reelle Zahlen. Folglich ist obige Menge gleich

$\begin{align*} \left\{ w \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + z \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} : w, z \in \mathbb R \right\} \end{align*}$ .

Siehst du die Basis nun deutlicher?

22.10.2014, 14:39

ubik

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basis von Bild(f)
Dann wäre es doch richtig, dass

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

eine Basis von Bild(f) ist?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

lässt sich nämlich als Linearkombination schreiben

und die Vektoren sind linear unabhängig.

22.10.2014, 15:27

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Mal eine andere Frage:

Sagen wir mal du hast den Unterraum

$\begin{align*} \left\{ w\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + z\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} : w,z \in \mathbb R\right\} \end{align*}$ .

Was ist deiner Meinung nach dann eine Basis dieses Raums?

22.10.2014, 15:30

ubik

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wäre davon eine Basis.

Edit: Ehrlich gesagt weiß ich es nicht. :-(

Bei Unterräumen hole ich sonst immer einen Vektor raus, der sich als Linearkombination der anderen schreiben lässt.

22.10.2014, 15:35

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das ist falsch.

Zitat:

Original von ubik
Bei Unterräumen hole ich sonst immer einen Vektor raus, der sich als Linearkombination der anderen schreiben lässt.

Ich weiß nicht wer dir gesagt hat, dass das eine geeignete Methode wäre um eine Basis zu bestimmen, aber vergiss es einfach schnell.

Per Definition bilden $\begin{align*} v_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} v_2 \end{align*}$ ein Erzeugendensystem von $\begin{align*} \{wv_1+zv_2 : w,z \in \mathbb R \} \end{align*}$ .

Wenn sie nun zusätzlich noch linear unabhängig sind, dann ist $\begin{align*} v_1,v_2 \end{align*}$ schon eine Basis. Das heißt man kann sie einfach ablesen!

22.10.2014, 18:46

ubik

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bereits eine Basis?

Und für mein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist Basis von Bild(f)?

22.10.2014, 19:18

ubik

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine letzte Frage hätte ich noch:

Kann mir jemand eine allgemeine Vorgehensweise zur Bestimmung einer Basis erklären?

Ich studiere Informatik an der Uni Hagen und im Skript ist das ziemlich unpraktisch erklärt.

22.10.2014, 23:35

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist nun richtig.

Eine allgemeine Vorgehensweise gibt es wie so oft nicht. Es kommt immer darauf an auf welche Art und Weise dir ein Raum gegeben ist.

Neue Frage »

Antworten »

Basis von Bild(f)

Verwandte Themen