Volumina einer Rotationsellipsoide

17.08.2004, 13:02

Olaf

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Volumina einer Rotationsellipsoide

Hallo,

ich kann folgende Aufgabe nicht lösen. Weiss jemand Rat?

Eine Ellipse mit den Halbachsen a und b wird durch die folgende Relation definiert:

(x²/a²) + (y²/b²) = 1

Berechnen Sie die Volumina der Rotationsellipsoide, die bei Rotation dieser Ellipse
a) um die x-Achse
b) um die y-Achse
enstehen.

17.08.2004, 13:21

kurellajunior

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RE: Volumina einer Rotationsellipsoide
Such mal im Forum vorsichtig nach "Rotationskörper". Ich denke die Antworten werden Dir weiterhelfen. Mach mal nen Lösungsversuch mit den Infos und poste ihn hier, dann kann man mal raufgucken. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.08.2004, 22:03

Olaf

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hallo,

...habe mich ein wenig umgeschaut, kann mir aber noch nicht so wirklich weiterhelfen...

Ich brauche für dir Rotationen

a) um die x-Achse
$\begin{align*} \pi \Bigint_{a}^b~x*f(x)~dx \end{align*}$

b) um die y-Achse
$\begin{align*} \pi \Bigint_{f(a)}^{f(b)}~x*g(y)~dy \end{align*}$

so weit bin ich, aber ich kanns leider nicht berechen...

...kann mir das bitte jemand erklären??

Danke vielmals.

20.08.2004, 22:07

Olaf

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pardon, kleiner tippfehler...

es sollte heißen:

a) um die x-Achse
$\begin{align*} \pi \Bigint_{a}^b~[f(x)]^2~dx \end{align*}$

b) um die y-Achse
$\begin{align*} \pi \Bigint_{f(a)}^{f(b)}~[g(y)]^2~dy \end{align*}$

20.08.2004, 22:45

Mathespezialschüler

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Na gut, dann wollen wir mal:

Also, damit du das Integral überhaupt finden kannst, brauchst du ja erstmal f(x). Du hast die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \end{eqnarray*}$

Es gilt doch y=f(x)!!! D.h. du brauchst nur die Gleichung nach y umstellen und hast f(x) = y = ... (aufpassen, du willst nur die Gleichung für den oberen Teil der Ellipse, also für $\begin{eqnarray*} y\geq 0 \end{eqnarray*}$ , da genau dieser rotiert). Dann kannst du das in das Integral für f(x) einsetzen und integrierst. Für y-Achse analog: Da gilt nämlich g(y) = x, einfach die Ellipsengleichung nach x umstellen, g(y) = x = ... ins integral einsetzen, integrieren.

Verstanden?? Probiers mal und poste dann deine Lösungen!!

20.08.2004, 23:02

Olaf

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so weit hab ichs, bin mir aber mit gar nix sicher...

zu a)
y²=f²(x)= b²(1-(x²/a²))

Vx= À a+b f² (x)dx
= À [b²-(b²x³/3a²)]ab ??
= ??

zu b)
x²=g²(y)=a²(1-(y²/b²))

Vy= À f(a)+f(b) g2 (y)dy
= À [a²(1-(y³/3b²))]f(a)f(b) ??
= ??

hoffe, man kanns lesen... bin mit LATEX leider nocht nicht fit... sorry.

Danke.

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20.08.2004, 23:17

Mathespezialschüler

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Damits für alle auch lesbar wird, schreib ichs mal in latex (ich schreib noch kleine Zwischenschritte dazu). Ich hoff, ich habs entziffern können, auch wenn nich weiß, wie du für das Integralzeichen auf À gekommen bist. Außerdem hast du nen Fehler beim Integrieren gemacht. 1 "ergibt" integriert x und nicht wieder 1. Augenzwinkern

Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} y^2 = (f(x))^2 = b^2(1-\frac{x^2}{a^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V = \int_a^b~(f(x))^2~dx = \int_a^b~(b^2-\frac{b^2}{a^2}x^2)~dx = [b^2x-\frac{b^2}{3a^2}x^3]_a^b \end{eqnarray*}$

Jetzt fragst du, was du machen sollst? Wirklich keine Idee?? Was würdest du denn machen, wenn anstelle von a und b Zahlen, also z.B. 3 und 7 stehen würden?? Du würdest doch einsetzen oder nich?? Aber a und b sind auch nur "Zahlen", denn sie sind ja bei einer Ellipse gegeben. D.h. du setzt einfach, wie immer für x das a und das b ein und benutzt den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Genauso beim zweiten, was ich nochmal aufschreibe:

$\begin{eqnarray*} x^2 = (g(y))^2 = a^2(1-\frac{y^2}{b^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V = \int_{f(a)}^{f(b)}~(f(x))^2~dy = \int_{f(a)}^{f(b)}~(a^2-\frac{a^2}{b^2}y^2)~dy = [a^2y-\frac{a^2}{3b^2}y^3]_{f(a)}^{f(b)} \end{eqnarray*}$

Versuchs mal Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.08.2004, 23:19

Olaf

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naja, schon ein wenig unleserlich...

nächster Versuch:

a) um die x-Achse
$\begin{eqnarray*} Vx=\pi\ [b^2-(b^2x^3/3a^2)]_{a}^{b} \end{eqnarray*}$
=??

b) um die y-Achse
$\begin{eqnarray*} Vx=\pi\ [a^2-(a^2y^3/3b^2)]_{f(a)}^{f(b)} \end{eqnarray*}$
= ??

So. Is ja gar nicht so schwer... smile

smile

20.08.2004, 23:27

Olaf

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naja,

ich versuchs mal:

a)

= $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ((b5/3a²)-(ab²/3)) ??

und bei bei b) ?? was mach ich mit f(a) und f(b) ?

danke nochmals...

20.08.2004, 23:27

Mathespezialschüler

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Für die Stelle von deinen Fragezeichen, die hab ich dir doch schon beantwortet:

Zitat:

Original von Mathespezialschüler
Jetzt fragst du, was du machen sollst? Wirklich keine Idee?? Was würdest du denn machen, wenn anstelle von a und b Zahlen, also z.B. 3 und 7 stehen würden?? Du würdest doch einsetzen oder nich?? Aber a und b sind auch nur "Zahlen", denn sie sind ja bei einer Ellipse gegeben. D.h. du setzt einfach, wie immer für x das a und das b ein und benutzt den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Hast du das denn verstanden?

20.08.2004, 23:31

Leopold

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Ein Ellipsoid mit den Halbachsen a,b,c (für a=b=c=r ergibt sich eine Kugel) hat übrigens das Volumen
$\begin{eqnarray*} V=\frac{4}{3}\,\pi\,abc \end{eqnarray*}$

Ihr könnt ja mit euren Rechnungen einmal daran die Probe machen. Bei weiterem Interesse siehe
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=3718

20.08.2004, 23:41

Olaf

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Fundamentalsatz:

F(x)= $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b}f(x)~dx \end{eqnarray*}$ =>F'(x) = f(x)

dachte mir das so:

$\begin{eqnarray*} Vx=\pi\ [b^2-(b^2x^3/3a^2)]_{a}^{b} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\pi\ (b^2-(b^5/3a^2))-(b^2-(b^2a^3/a^3)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\pi\ ((b^5/3a^2)-(ab^2/3)) \end{eqnarray*}$

hab ich wieder was falsch gemacht ??

und wie ist das bei b) mit f(a) unf f(b)?

20.08.2004, 23:51

Mathespezialschüler

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Genau das meinte ich! :]

Nur musst du doch in

$\begin{eqnarray*} [b^2x-\frac{b^2}{3a^2}x^3]_a^b \end{eqnarray*}$

einsetzen. Mach das erstmal, danach zum zweiten.

20.08.2004, 23:56

Olaf

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da sollte dann

$\begin{eqnarray*} Vx=\pi\ (b^3-(b^5/3a^2)) \end{eqnarray*}$

ergeben, oder ?

21.08.2004, 00:06

Mathespezialschüler

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Mir war die ganze Zeit an der Sache was faul, aber ich wusste nich was. Ich hab das schonmal gemacht und da kam ein anderes Ergebnis raus. Das werden wir hoffentlich auch noch rausbekommen. Ich hab deins wohl nich richtig durchgelesen am Anfang, nagut dann aber jetz. Fehler: Wir müssen nich von a bis b integrieren, völliger Schwachsinn. :P
Sondern von -a bis a, das heißt du berechnest lieber

$\begin{eqnarray*} [b^2x-\frac{b^2}{3a^2}x^3]_{-a}^a \end{eqnarray*}$

und bei dem anderen analog von -b bis b:

$\begin{eqnarray*} [a^2x-\frac{a^2}{3b^2}x^3]_{-b}^b \end{eqnarray*}$

und jetz berechne nochmal schnell! Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.08.2004, 00:18

Olaf

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aso...

hab nun das raus...

$\begin{eqnarray*} Vx=2\pi\ (b^2a) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} Vx=2\pi\ (a^2b) \end{eqnarray*}$

21.08.2004, 00:20

Mathespezialschüler

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Zeig mal deine Rechnung, hast dich ein wenig verrechnet, aber die ergebnisse sehen schon besser aus.

21.08.2004, 00:26

Olaf

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(b²a - ((b²a³)/3a²)))-(-b²a+((b²a³)/3a²)))
=2(b²a) - ((b²a³)/3a²)) +((b²a³)/3a²))
=2b²a

+ das gleiche in grün für die ander seite

+ ein Denkfehler irgendwo...

21.08.2004, 00:29

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Olaf
+ ein Denkfehler irgendwo...

ja:

(b²a - ((b²a³)/3a²)))-(-b²a+((b²a³)/3a²)))
=2(b²a) - ((b²a³)/3a²)) -((b²a³)/3a²))
=2b²a

-+ wird zu - Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.08.2004, 00:38

Olaf

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macht also (hoffentlich ohne Denkfehler):

=2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (b²a-((b²a³)/3a²))

und

=2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (a²b-(a²b³)/3b²))

oder ??

21.08.2004, 00:41

Mathespezialschüler

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Du kannst noch vereinfachen! Jeweils Potenzen, dann wird das Ergebnis sehr schön

21.08.2004, 00:50

Olaf

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=2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ (b²a-((b²a³)/3a²))
=2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ a²(b²-(b²/3))
=2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ a²(2b²/3)

??

stimmt das??

bin wohl mittlerweile etwas konzentrationsgeschwächt...

21.08.2004, 00:52

Mathespezialschüler

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Wenn du aus dem a² noch ein a machst, dann stimmts und es kommt raus:

$\begin{eqnarray*} V_x = \frac{4}{3}\pi ab^2 \end{eqnarray*}$

Für das andere machst du das auch noch, ok? Zum überprüfen: Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} V_y = \frac{4}{3}\pi a^2b \end{eqnarray*}$

21.08.2004, 00:55

Olaf

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endlich erlöst smile

smile

vielen lieben dank nochmals und angenehme nachtruhe...

21.08.2004, 00:56

Mathespezialschüler

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Zitat:

Original von Olaf
vielen lieben dank nochmals und angenehme nachtruhe...

Dafür sind wir ja da smile

smile

, gute nacht.

21.08.2004, 10:00

Leopold

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Und diese Ergebnisse passen jetzt auch zur allgemeinen Formel
$\begin{eqnarray*} V=\frac{4}{3}\,\pi\,abc \end{eqnarray*}$

Es sind nämlich nur Spezialfälle von ihr. Einmal ist c=a, das andere Mal c=b.

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