Zähldichten beweis

22.10.2014, 13:06

stochamocha

Zähldichten beweis

Meine Frage:
Aufgabe:

Mann soll zeigen dass es sich hier bei um Zähldichten handelt.

$\begin{eqnarray*} a) p(k)= \frac{\lambda^k}{k!}*e^{-\lambda}, k \in \mathbb N_{0}, \lambda > 0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

Ist das richtig,dass ich nur zeigen muss,dass $\begin{eqnarray*} p(k)\geq 0 \end{eqnarray*}$

Das ging nämlich so $\begin{eqnarray*} p(k)= \frac{\lambda^k}{k!}*e^{-\lambda}\Rightarrow k!\geq 0 \end{eqnarray*}$ , da $\begin{eqnarray*} 0!=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N_{0}, \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} k\geq 0 \end{eqnarray*}$

daraus folger ich, dass der ganze Bruch $\begin{eqnarray*} \frac{\lambda^k}{k!}\geq 0 \end{eqnarray*}$

jetzt $\begin{eqnarray*} \lim_{\lambda \to \infty } e^{-\lambda} =0 \Rightarrow p(k)= \frac{\lambda^k}{k!}*e^{-\lambda}\geq 0 \end{eqnarray*}$

kann man das so machen?

liebe grüße

stochamocha

22.10.2014, 14:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von stochamocha
Ist das richtig,dass ich nur zeigen muss,dass $\begin{eqnarray*} p(k)\geq 0 \end{eqnarray*}$

Das ist noch nicht alles: Die Gesamtwahrscheinlichkeit muss 1 sein, d.h. es ist auch noch

$\begin{align*} \sum_{k\in\mathbb{N}_0} p(k) = 1 \end{align*}$

nachzuweisen. Und das ist wohl auch der wesentliche Teil, denn $\begin{align*} p(k) \geq 0 \end{align*}$ würde ich unter "sieht man doch sofort" verbuchen. Augenzwinkern

22.10.2014, 14:40

stochamocha

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Hallo

Ok, aber wie geht man sowas an dass die summe von p (k)=1 ist. Ich mein muss man da irgendwie was besonders machen, entschuldige aber es ist mein erstes sem. Mathe.:/

22.10.2014, 14:56

HAL 9000

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Naja, einfach mal einsetzen und den konstanten (d.h. von $\begin{align*} k \end{align*}$ unabhängigen) Faktor rausziehen aus der Summe:

$\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty} p(k) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda} = e^{-\lambda}\cdot \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} \end{align*}$ .

Erstes Semester Mathe? Vielleicht kommt dir die rechts stehende Reihe dennoch bekannt vor: Schau dir mal die Taylorreihen einiger bekannter Funktionen an. Da du ja weißt, was da rauskommen soll, dürfte die Suche nicht all zu lang dauern. Augenzwinkern

22.10.2014, 15:10

Stochamocha

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Achso das sieht aus wie die Exponentialreihe.Dann müsste es ja

$\begin{eqnarray*} e^{-\lambda}*e^{\lambda}= e^{-\lambda+\lambda}=e^0=1 \end{eqnarray*}$

22.10.2014, 15:11

HAL 9000

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So ist es. Freude

22.10.2014, 16:03

stochamocha

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danke der Herr smile

)

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