Trigonometrische Funktion Beweisen

22.10.2014, 15:29

starsblash

Trigonometrische Funktion Beweisen

Meine Frage:
Hallo,
Ich soll folgende Funktion beweisen. $\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{4})= cos(\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$

Ich darf bereits bekannte Werte von $\begin{eqnarray*} sin(\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos(\frac{\pi}{4}) \end{eqnarray*}$ nicht benutzen, wohl aber die Tatsache $\begin{eqnarray*} cos(\frac{\pi}{2})=0 \end{eqnarray*}$ .

Ich komme einfach nicht drauf. Kann mir wer Helfen?

Meine Ideen:
ich habe jetzt an Additiontheoreme gedacht, weiß aber nicht wie ich die darauf anwenden soll.

22.10.2014, 15:32

tmo

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Dann schreib doch mal $\begin{align*} \frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} \end{align*}$ und wende das Additionstheorem an.

22.10.2014, 15:48

starsblash

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Hmm, ich weiß deinen Tipp leider nicht anzuwenden.
Die Additionstheoreme lauten ja
$\begin{eqnarray*} sin(x+y)=sin(x)*cos(y)+cos(x)*sin(y) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} cos(x+y)=cos(x)*cos(y)-sin(x)*sin(y) \end{eqnarray*}$

aber wie soll ich diese Werte dort jetzt einsetzen?

22.10.2014, 15:51

tmo

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Eigentlich solltest du das nach meinem Beitrag selbst herausfinden. geschockt

Im Additionstheorem steht im Argument eine Summe der Form x+y. Jetzt schau dir nochmal mein Beitrag an.

22.10.2014, 17:29

starsblash

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ich glaube nach langem tüfteln habe ich es gerafft. Hammer

nach einsetzen und gleichsetzen:
$\begin{eqnarray*} sin(\pi/2)*cos(\pi/4)-sin(\pi/4)*cos(\pi/2)=cos(\pi/2)*cos(\pi/4)+sin(\pi/2)*sin(\pi/4) \end{eqnarray*}$

=>
$\begin{eqnarray*} 1*cos(\pi/4)-sin(\pi/4)*0=0*cos(\pi/4)+1*sin(\pi/4) \end{eqnarray*}$

=>
$\begin{eqnarray*} cos(\pi/4)=sin(\pi/4) \end{eqnarray*}$

Danke sehr für den Anstoß.
Ich hab einfach ein Brett vor dem Kopf gehabt.

22.10.2014, 17:58

sixty-four

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Es geht auch noch eine Nummer einfacher:

Wenn du ein gleichschenkliges rechtwinkliges Dreieck betrachtest, dann sind die an der Hypothenuse anliegenden Winkel beide pi/4 .
Der Sinus ist im rechtwinkligen Dreieck aber Gegenkathete geteilt durch Hypothenuse, der Cosinus ist Ankathete durch Hypothenuse. Da beide Katheten gleich lang sind, kommt auch das selbe raus.

22.10.2014, 18:07

Guppi12

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Da fehlt aber der Beweis, dass der Sinus und der Cosinus auf angegebene Weise mit Dreiecken in Verbindung gebracht werden können. Dieser steht für gewöhnlich noch nicht zur Verfügung, wenn Aufgaben dieser Art gestellt werden.

Will man das noch beweisen, ist es wohl nicht mehr einfacher Augenzwinkern

22.10.2014, 18:12

tmo

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Zitat:

Original von starsblash
nach einsetzen und gleichsetzen:
$\begin{eqnarray*} sin(\pi/2)*cos(\pi/4)-sin(\pi/4)*cos(\pi/2)=cos(\pi/2)*cos(\pi/4)+sin(\pi/2)*sin(\pi/4) \end{eqnarray*}$

=>
$\begin{eqnarray*} 1*cos(\pi/4)-sin(\pi/4)*0=0*cos(\pi/4)+1*sin(\pi/4) \end{eqnarray*}$

=>
$\begin{eqnarray*} cos(\pi/4)=sin(\pi/4) \end{eqnarray*}$

Das Brett scheint noch da zu sein, denn das ist nichts weiter als ein Zirkelschluss. Dass die erste Gleichung gilt, ist nämlich schon die Behauptung.

22.10.2014, 18:57

sixty-four

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Zitat:

Original von Guppi12
Da fehlt aber der Beweis, dass der Sinus und der Cosinus auf angegebene Weise mit Dreiecken in Verbindung gebracht werden können. Dieser steht für gewöhnlich noch nicht zur Verfügung, wenn Aufgaben dieser Art gestellt werden.

Will man das noch beweisen, ist es wohl nicht mehr einfacher Augenzwinkern

Ich denke, das ist ganz einfach zu beweisen, wenn du dir die Definition des Sinus und Cosinus am Einheiskreis ansiehst. Hast du nun ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck, dann sind das ähnliche Dreiecke und du musst durch den Kreisradius divdieren. Der Radius ist aber genau die Hypothenuse.

22.10.2014, 19:24

tmo

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Zitat:

Original von sixty-four
Ich denke, das ist ganz einfach zu beweisen, wenn du dir die Definition des Sinus und Cosinus am Einheiskreis ansiehst.

Das ist hier wahrscheinlich jedem klar, aber:

In den seltensten Fällen werden Sinus und Cosinus in einer Analysis 1-Vorlesung (Um so eine wird es sich vermutlich handeln) über den Einheitskreis eingeführt. Das wollte Guppi12 dir verständlich machen.

22.10.2014, 19:43

sixty-four

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Zitat:

Original von tmo

In den seltensten Fällen werden Sinus und Cosinus in einer Analysis 1-Vorlesung (Um so eine wird es sich vermutlich handeln) über den Einheitskreis eingeführt. Das wollte Guppi12 dir verständlich machen.

Dann klär' mich doch mal bitte auf. Wie werden die Kreisfunktionen definiert, wenn nicht am Einheitskreis?

22.10.2014, 19:52

tmo

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Meistens über Real und Imaginärteil von $\begin{align*} \exp(ix) \end{align*}$ (Dann sind die Additionstheoreme nämlich tautologisch) oder direkt über ihre Reihenentwicklungen.

Ich habe allerdings auch schon Vorlesungen gesehen, in denen Arcussinus und Arcuscosinus über die Integrale ihrer Ableitungen eingeführt wurden und dann daraus dann Sinus und Cosinus entwickelt wurde. Aber das ist eher die Ausnahme.

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