Levi-Civita und Kronecker-Delta

22.10.2014, 18:31	Saybastian	Auf diesen Beitrag antworten »
Levi-Civita und Kronecker-Delta Meine Frage: Kann mir wer diesen Zusammenhang erklären? Ich habe ihn in einem durchgerechneten Beispiel entdeckt und weiß nicht wie man draufkommt. In den Beispiel geht es darum in Indexschreibweise zu zeigen dass für Vektoren a und b in einer dreidimensionalen, orthonormalen Basis mit euklidischer Metrik gilt: $\begin{eqnarray} (\vec{a} \vec{b} )^2 + \|\vec{a} \times \vec{b} \|^2 = \|\vec{a} \|^2 \|\vec{b} \|^2 \end{eqnarray}$ Der Zusammenhang den ich nicht verstehe ist dieser: $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk} a_{j} b_{k} \epsilon_{ilm} a_{l} b_{m} = (\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl})a_{j} b_{k} a_{l} a_{m} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich weiß dass gilt: $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm}=\delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl} \end{eqnarray}$ Aber irgendwie sind die Indexe da anders in die Kronecker-Deltas übertragen als im oberen Term. Ist es allgemein so das wenn ich nach den Levi-Civita Symbolen noch Vektoren stehen habe das die Indexe von den Vektoren übernommen werden. Also in diesem Fall: Für das erste Delta die Indizes vom ersten a und zweiten a,für das zweite Delta die Indizes vom ersten b und zweiten b,für das dritte Delta die Indizes vom ersten a und zweiten b und für das vierte Delta die Indizes vom ersten b und zweiten a. Ist das immer so oder ist das Zufall. An welches Schema kann ich mich dabei halten?
22.10.2014, 18:43	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Levi-Civita und Kronecker-Delta Wie du die Indizes benennst, ist völlig unerheblich. Wichtig sind die doppelt vorkommenden und die unterscheiden sich hier eben, nicht nur im Namen sondern auch in der Position.
23.10.2014, 15:56	Saybastian	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hilft mir leider nicht viel weiter, weil der einzige doppelte ist doch das i und das kommt garnicht vor. Woran weiß ich dann wie ich die anderen 4 kombinieren muss?
23.10.2014, 16:10	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich meinte, hier $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk} a_{j} b_{k} \epsilon_{ilm} a_{l} b_{m} = (\delta_{jl}\delta_{km}-\delta_{jm}\delta_{kl})a_{j} b_{k} a_{l} a_{m} \end{eqnarray}$ und hier $\begin{eqnarray} \epsilon_{ijk} \epsilon_{klm}=\delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl} \end{eqnarray}$ unterscheiden sich auf der linken Seite die doppelt vorkommenden Indizes, über die also summiert werden muss. Du musst das zunächst einmal vergleichbar machen, ehe du dir über die übrigen Indizes Gedanken machst. Im Dreidimensionalen gilt $\begin{eqnarray} \epsilon_{kij} \epsilon_{klm}=\epsilon_{ijk} \epsilon_{klm}= \delta_{il} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{jl} \end{eqnarray}$ . Auf der linken Seite haben die Indizes jetzt andere Namen, aber wenn du die Indexnamen jetzt auf die linke Seite in der ersten Gleichung anpasst, bekommst du die rechte Seite der Gleichung
23.10.2014, 16:21	Saybastian	Auf diesen Beitrag antworten »
AAAAAHHH jetzt hab ich verstanden. Ich muss mir zuerst die Indizes bei den Epsilons so zurecht tauschen das ich über die Summenkenvention aufsummieren kann und dabei auf die Vorzeichenwechsel achten. Dann kann ich nach gewohnten Schema mit den Indizes vorgehen: 2.2. mal 3.3 - 2.3. mal 3.2. gemeint sind damit die Indizes. Danke habs verstanden!!!!

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