Umkehrfunktion2

22.10.2014, 20:00

Gpx

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Umkehrfunktion2

Meine Frage:
Ich habe mal lieber einen neuen Thread aufgemacht.

Folgende Funktionen sind für geeignete Wahlen von De?nitions- und Bildmenge bijektiv. Berechnen Sie die Umkehrfunktionen:

$\begin{eqnarray*} g(x)= \frac{x-2}{x-3} \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} y= \frac{x-2}{x-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{y-2}{y-3} \end{eqnarray*}$

Tipps für weiteres Vorgehen ?

Meine Ideen:
gepostet

22.10.2014, 20:44

Gpx

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Ich hab es jetzt glaub ich raus .

$\begin{eqnarray*} y = \frac{-2+3x}{(x-1)} \end{eqnarray*}$

Ist das Ergebnis in Ordnung ?

22.10.2014, 21:06

Bürgi

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Guten Abend,
the good news first: Du hast richtig gerechnet.

Ich empfehle aber dringend, sich noch mit der Definitions- und Wertemenge der jeweiligen Funktion zu beschäftigen.

22.10.2014, 21:12

Gpx

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Was meinst du genau ?

22.10.2014, 21:25

Bürgi

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Hallo,

Welche Definitionsmenge bezüglich $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ hat g? Welchen Wertebereich hat g?
Wie lautet nun der Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} g^{-1} \end{eqnarray*}$ ? Und der Wertebereich?

Solche Fragen müssen bei einer ausführlichen Untersuchung von Funktionen beantwortet werden.

22.10.2014, 21:27

Gpx

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Muss ich bei dieser Aufgabe nicht nur die Umkehrfunktion berechnen?

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22.10.2014, 21:34

Bürgi

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Hallo,

hier steht

Zitat:

Folgende Funktionen sind für geeignete Wahlen von De?nitions- und Bildmenge bijektiv. Berechnen Sie die Umkehrfunktionen:

... und wie hast Du gewählt?

(Aus der Aufgabenstellung geht m.E. deutlich hervor, dass Du die geeigneten Mengen angeben sollst.)

22.10.2014, 21:36

Gpx

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Weisst du wie ich genau auf den Definitionsbereich kommen soll Bürgi ?

22.10.2014, 21:43

Bürgi

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Hallo,
bei reellwertigen Funktionen geht man grundsätzlich von der Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ aus.

Nun gibt es Einschränkungen:

Der Nenner eines Bruchterms darf nicht null werden.
Der Radikand einer Quadratwurzel darf nicht negativ sein.
Das Argument eines Logarithmus muss positiv sein.

Bei der Wertemenge musst Du Dir nun überlegen, welche Werte bei dem angegebenen Definitionsbereich nicht erreicht werden.

22.10.2014, 21:52

Gpx

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Also es können zumindest keine 0 raus kommen und keine negative Werte vorkommen.

D = R

Es werden keine ganzen Zahlen sondern hauptsächlich dezimalzahlen erreicht?

Wie soll ich so etwas formal schreiben ?

22.10.2014, 21:57

Bürgi

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Hallo,

das kann nicht stimmen:

$\begin{eqnarray*} g(x)= \frac{x-2}{x-3} \end{eqnarray*}$

Wenn Du den Nenner untersuchst, ob er irgendwann null wird, geht das so:

$\begin{eqnarray*} x-3=0~\implies~x=3 \end{eqnarray*}$

d.h. mit anderen Worten: Die 3 darf nicht als x-Wert genommen werden, da Du dann durch null teilen würdest und das ist verboten!

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} D = \mathbb{R} \setminus \lbrace 3 \rbrace \end{eqnarray*}$

Und nun überlege Dir, ob es ähnliche Ausnahmen beim Wertebereich geben könnte.

22.10.2014, 22:00

Gpx

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D = R \{2}

Dieser Fall noch.

Gibt es noch mehrere?

22.10.2014, 22:05

Bürgi

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Hallo,
das ist keider falsch, denn wenn Du für x den Wert 2 einsetzt, erhältst Du:
$\begin{eqnarray*} g(2)= \frac{2-2}{2-3}=\frac0{-1}=0 \end{eqnarray*}$
und das ist doch ein sehr schöner und vor allem wichtiger Funktionswert.

22.10.2014, 22:09

Gpx

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Man o Man das ist schwer.

Big Laugh

Big Laugh

Ich glaube du musst mir mit weiteren Tipps auf die Sprünge helfen. Big Laugh

Big Laugh

22.10.2014, 22:17

Bürgi

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Hallo,

da Du sicherlich noch öfter solche Untersuchungen durchführen musst, ist sinnvoll, sich die von mir genannten Ausnahmen einzuprägen - dann ist es auch bald nicht mehr schwer.

Für den Definitionsbereich gibt es keine weiteren Einschränkungen, d.h., die Definitionsmenge ist die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ohne die 3.

Wenn Du jetzt den Wertebereich untersuchst, kannst Du probieren, ob es für jeden y-Wert auch den passenden x-Wert gibt.
Beispiel: y = -5
Also
$\begin{eqnarray*} -5= \frac{x-2}{x-3} ~\implies~-5(x-3)=x-2~\implies~-6x= -17~\implies~x=\frac{17}6 \end{eqnarray*}$

Geht das für alle y-Werte? Auch für y = 1?

EDIT: Ich mach jetzt Schluss für heute. Wenn nötig, morgen mehr! Wink

Wink

22.10.2014, 22:28

Gpx

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Soll ich jetzt beliebige Werte für y einsetzen oder wie ?

Wäre gut wenn wir morgen noch weiter machen . Ohne deine Hilfe bekomme ich es nicht hin. Big Laugh

Big Laugh

23.10.2014, 07:45

Bürgi

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Guten Morgen,

ich hatte Dir gestern schon gezeigt, wie man den x-Wert berechnet, wenn der y-Wert bekannt ist. Außerdem hatte ich Dir vorgeschlagen (und dafür gab/gibt es einen gewichtigen Grund!), den y-Wert 1 zu nehmen.
Setze y = 1. Berechne den dazugehörenden x-Wert. Was sagt Dein Ergebnis über den Wertebereich von g aus?

23.10.2014, 09:42

Gpx

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$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{x-2}{x-3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1*(x-3) = x-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x - 3 = x -2 \end{eqnarray*}$

Für y = 1 würde x = 0 werden .

Das geht nicht?

23.10.2014, 10:03

Bürgi

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Hallo,
nicht ganz

$\begin{eqnarray*} x - 3 = x -2 ~\implies~-3=-2 \end{eqnarray*}$

und das ist schlicht nicht wahr. Daraus folgt: Der y-Wert kann mit dieser Funktion nicht erzeugt werden, d.h., 1 ist nicht in der Wertemenge enthalten.
Und wie schreibt man das formal richtig auf? (Vgl. Schreibweise der Definitionsmenge)

23.10.2014, 10:13

Gpx

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D = R\{3},{2}

So in Ordnung ? Jetzt muss ich mich mit der Bildmenge beschäftigen ?

23.10.2014, 10:21

Bürgi

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Hallo,

Du hattest schon bestimmt: $\begin{eqnarray*} D=\mathbb{R} \setminus \lbrace 2 \rbrace \end{eqnarray*}$

Das was ich Wertemenge (oder Wertebereich) nenne, ist bei Dir die Bildmenge, womit wir uns gerade beschäftigen. Wie Du in den vorhergehenden Nachrichten gesehen hast, gehört 1 nicht zur Bildmenge oder Wertemenge oder Wertebereich. Und das sollst Du nun formal richtig aufschreiben.

23.10.2014, 10:25

Gpx

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B = R\{1}

In ordnung jetzt ?

23.10.2014, 10:29

Bürgi

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Hallo,

sehr gut!

Du kannst jetzt Definitions- und Wertemenge vertauschen, um die Definitions- und Wertemenge der Umkehrfunktion zu erhalten.

23.10.2014, 10:33

Gpx

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Der Umkehrfunktion ist also :

B = R\{3}

D = R\{1}

Vielleicht kannst du mir auch helfen bei meinem Thread Umkehrfunktion noch die Wertemenge und D zu berechnen ?

Ich poste da gleich.

Da habe ich nur Umkehrfunktion berechnet . Big Laugh

Big Laugh

23.10.2014, 10:40

Bürgi

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Prima!

Freude

Jetzt stimmt alles.

Anmerkung: Ich fühle mich durch Deinen Wunsch nach weiterer Betreuung sehr geehrt. Allerdings bin ich bis heute Abend gegen 21:00 Uhr offline. Du wirst aber mit Sicherheit von jemand aus dem Forum die nötige Unterstützung bekommen. Weiterhin viel Erfolg.

23.10.2014, 10:42

Gpx

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Bei dem anderen Thread müsste doch auch D = R

Für die Wertemenge sind doch alle Werte nutzbar?

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