Komplexe Zahlen - exponentielle Form in algebraische Form

22.10.2014, 20:28

booost

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Komplexe Zahlen - exponentielle Form in algebraische Form

Meine Frage:
Hallo,

ich habe das Studium vor kurzem angefangen. Erstes Thema in Mathe: komplexe Zahlen. Sogesehen recht logisch, doch ich stehe vor einem Problem:
Wie komme ich von der exponentiellen Form
$\begin{eqnarray*} z= re^{ix} \end{eqnarray*}$

in die algebraische Form
z=a+bi

Und zwar geht es um folgende Gleichung:
$\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{\sqrt{2}}*e^{-i\frac{\pi}{4} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Einmal habe ich versucht es über die trigonometrische Form zu versuchen und kam auf:
$\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{\sqrt{2} } - isin(-\frac{\pi}{4} ) \end{eqnarray*}$

und als zweites habe ich die trigonometrische form einmal ausgelassen, und versucht über den sin(phi) und dann über den pythagoras das a und das b herauszufinden.
Es kam heraus:

$\begin{eqnarray*} z=\sqrt{5000} + i\sin(-\frac{\pi }{4} ) + \frac{1}{\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

Hoffe ihr könnt mir helfen.
Danke im voraus.

22.10.2014, 20:47

Steffen Bühler

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RE: komplexe Zahlen - exponentielle form in algebraische from
Herzlich willkommen im Matheboard!

Die Eulerformel lautet ja

$\begin{eqnarray*} r \cdot e^{i \cdot \varphi} = r \cdot (\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi ) \end{eqnarray*}$

Jetzt setz doch mal stur ein.

Viele Grüße
Steffen

22.10.2014, 21:41

booost

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Hey

ja sorry, statt dem x natürlich ein phi (wie bekomme ich das Zeichen im Formeleditor hin?)! Fehler meinerseits.

Ja das einsetzen verstehe ich und ist auch nicht wirklich schwer. Aber wie bekomme ich aus der trigonometrischen Form die algebraische Form zustande?

Mfg

22.10.2014, 21:48

Steffen Bühler

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Ob Du eine Variable x oder phi oder Karlheinz nennst, ist letztendlich egal. Ich nehme gerne phi (in LaTeX \varphi), weil's hier ja ein Winkel ist.

Zitat:

Original von booost
Aber wie bekomme ich aus der trigonometrischen Form die algebraische Form zustande?

Die steht dann doch da! Der Term rcosx ist a, der Term rsinx ist b.

23.10.2014, 06:57

booost

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RE: Komplexe Zahlen - exponentielle Form in algebraische Form
Ok danke. Also wäre ja folgende Lösung richtig:
$\begin{eqnarray*} z=\frac{1}{\sqrt{2} } + \frac{1}{\sqrt{2} }isin(-\frac{\pi}{4} ) \end{eqnarray*}$

Will mich nur absichern ob es richtig ist. Bin nämlich ein Mathemathischer Tollpatsch und muss mit der Lösung weiter rechnen. Wenn die falsch wäre, wäre es blöd.

Mfg

23.10.2014, 09:43

Steffen Bühler

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RE: Komplexe Zahlen - exponentielle Form in algebraische Form
Sie ist leider falsch, aber das schaffen wir schon.

Also: wir haben

$\begin{eqnarray*} r = \frac 1 { \sqrt 2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi = - \frac { \pi } 4 \end{eqnarray*}$

Du warst nun beim Einsetzen nicht stur genug. Ich schrieb ja

$\begin{eqnarray*} r \cdot (\cos \varphi + i \cdot \sin \varphi ) \end{eqnarray*}$

Das gibt dann also

$\begin{eqnarray*} \frac 1 { \sqrt 2 } \cdot \left( \cos \left( - \frac { \pi } 4 \right) + i \cdot \sin \left( - \frac { \pi } 4 \right) \right) \end{eqnarray*}$

Nun schnapp Dir Deinen Taschenrechner und rechne den Cosinus und Sinus von $\begin{eqnarray*} - \frac { \pi } 4 \end{eqnarray*}$ aus. Und dann das Endergebnis.

Viele Grüße
Steffen

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23.10.2014, 14:32

booost

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Hey
Danke für die Nerven die du aufwendest: habe nicht stur eingetippt, sondern bin (warum auch immer) davon ausgegangen, dass $\begin{eqnarray*} cos(-(\frac{\pi }{4} ) \end{eqnarray*}$ = 1 ist.

Ok dann hat sich das geklärt und hoffe, dass sich die fortfliegenden Aufgaben leicht lösen.

Danke
Mfg

23.10.2014, 19:53

booost

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Ey ich weine gleich. Ich fühl mich wie ein Dümmling.
Mir macht die Übungsaufgabe zu schaffen, die wir in der Uni hatten. (Mache Fernstudium, deshalb fällt es mit Übungen recht schmal aus).

Mich verwirrt, dass bei der, von der Lehrerin, gerechneten Aufgabe was anderes herauskommt, als wenn ich es rechne.

Und zwar ist gegeben
$\begin{eqnarray*} z = 1 + i \end{eqnarray*}$
die trig. Form lautet demnach:
$\begin{eqnarray*} z = \sqrt{2} \cdot (\cos(\frac{\pi }{4} ) + i \sin(\frac{\pi }{4} ) \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun zurückrechne mit
$\begin{eqnarray*} a = \sqrt{2} \cdot (\cos(\frac{\pi }{4} ) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} b = \sqrt{2} \cdot i \sin(\frac{\pi }{4} ) \end{eqnarray*}$

komme ich nicht auf
$\begin{eqnarray*} z = 1 + i \end{eqnarray*}$

Demnach kommt bei MEINER Aufgabe (s.o.) totaler Schrott raus unglücklich

unglücklich

Und vorallem hat die Dozentin drangeschrieben, dass
a= r*cos()
ist, und
b=sin()
ist.
verwirrt

verwirrt

unglücklich

23.10.2014, 20:04

Steffen Bühler

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Was bekommst Du denn für cos(pi/4) raus?

23.10.2014, 20:04

booost

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23.10.2014, 20:07

Steffen Bühler

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Hast Du den Taschenrechner auf RAD gestellt?

23.10.2014, 20:12

booost

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ach verdammt. Nein.

Dann kommt 0,5 heraus.. ich idiot...

Also finale Lösung wäre in algebraischer Form

$\begin{eqnarray*} z = -\frac{1}{2} - i\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Bitte sag, dass es richtig ist.

23.10.2014, 20:21

Steffen Bühler

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Das geht nicht, denn -0,5-0,5i ist nicht dasselbe wie 1+i. Siehst Du ein, oder?

Und cos(pi/4) ist auch nicht 0,5. Tipp's noch mal ein.

Wo kommen überhaupt plötzlich die beiden Minuszeichen her?

Und der Faktor Wurzel 2 steht ja auch noch da. Bist Du in der Aufgabe verrutscht?

Also: keine Panik, tief Luft holen und noch mal sorgfältig rechnen.

23.10.2014, 20:40

booost

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Hey

Ja für die Aufgabe der Dozentin kommt 1+i heraus.

Ich habe für meine aufgabe gerechnet, also $\begin{eqnarray*} \frac 1 { \sqrt 2 } \cdot \left( \cos \left( - \frac { \pi } 4 \right) + i \cdot \sin \left( - \frac { \pi } 4 \right) \right) \end{eqnarray*}$

Sollte stimmen?!
Sorry habe es nicht ordentlich kenntlich gemacht was ich nun genau rechne

23.10.2014, 20:43

Steffen Bühler

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Warum jetzt wieder -pi/4? Um 19:53 waren es noch +pi/4.

Edit: Und warum plötzlich die Wurzel 2 im Nenner?

23.10.2014, 20:51

booost

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Pass auf, ich glaube wir reden aneinander vorbei.

Ich wollte im Thread vorerst geklärt haben, was die algebraische form von

$\begin{eqnarray*} \frac 1 { \sqrt 2 } \cdot \left( \cos \left( - \frac { \pi } 4 \right) + i \cdot \sin \left( - \frac { \pi } 4 \right) \right) \end{eqnarray*}$

ist, richtig?

Dann dachte ich, es ist alles klar und habe es versucht.
Dann habe ich festgestellt, dass ich nicht auf das Ergebnis komme, bzw auf krumme Werte, und habe nochmal die Übungsaufgabe aus der Uni:

$\begin{eqnarray*} z = \sqrt{2} \cdot (\cos(\frac{\pi }{4} ) + i \sin(\frac{\pi }{4} ) \end{eqnarray*}$

rückwärts gerechnet. (Das war 19:53)

Letztendlich hast du mir geholfen mit dem Tip, RAD einzustellen. Voller Freude habe ich dann meine Aufgabe, die ich lösen will:

$\begin{eqnarray*} \frac 1 { \sqrt 2 } \cdot \left( \cos \left( - \frac { \pi } 4 \right) + i \cdot \sin \left( - \frac { \pi } 4 \right) \right) \end{eqnarray*}$

gerechnet, und dir das Ergebnis (alg. Form) hingeschrieben:

$\begin{eqnarray*} z = -\frac{1}{2} - i\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Hoffe ich konnte aufklären?!

Sorry, stehe wohl etwas unter Spannung, weil ich es nicht hinbekommen habe

23.10.2014, 20:58

Steffen Bühler

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Stimmt, das erklärt einiges.

Jetzt bleibt nur noch zu klären, was $\begin{eqnarray*} \cos \left( - \frac {\pi} 4 \right) \end{eqnarray*}$ wirklich ist...

23.10.2014, 21:13

booost

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0,707...

Ok ich weiß worauf du hinaus willst: dass das 1. Minus weg kommt?!

23.10.2014, 21:18

Steffen Bühler

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Ja, jetzt passt's.

Somit ist nun alles klar, oder?

Viele Grüße
Steffen

23.10.2014, 21:19

booost

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Ja, endlich.
Meine Güte.

Die nächste Frage folgt bestimmt haha.

Danke Steffen Gott

Gott

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