Grenzwert bestimmen, Auflösen der Terme

22.10.2014, 22:08	Lady_Evil	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert bestimmen, Auflösen der Terme Ich benötige Hilfe bein Ansatz dieser Aufgabe: [attach]35805[/attach] Hier soll der Grenzwert bestimmt werden. Ich hätte angefangen mit kürzen, jedoch kann man nicht ohne weiteres kürzen, oder? Polynomdivision hatte ich auch schon überlegt allerdings erhält man einen Rest.
22.10.2014, 22:14	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo! Ich denke mal du sollst $\begin{eqnarray} \lim_{n \rightarrow \infty} \frac {n^2+4n-1}{n^2-5n+3} \end{eqnarray}$ bilden, oder? Versuch es mal, statt mit direktem kürzen, mit "vor-die-Klammer-ziehen". Beispiel (unabhängig von der Aufgabe): $\begin{eqnarray} n^3+12n =n( n^2+12 ) = n^2 (n+ 12 \cdot \frac 1n ) \end{eqnarray}$ Danach solltest du nämlich bei Dir kürzen können.
22.10.2014, 22:21	Lady_Evil	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja genau, diese Folge soll ich bilden. $\begin{eqnarray} \frac{n(n+4)-1}{n(n-5)+1} \end{eqnarray}$ So kann ich ja dann kürzen und käme auf: $\begin{eqnarray} \frac{(n+4)}{(n-5)} \end{eqnarray}$
22.10.2014, 22:34	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo verbleiben denn • "-1" im Zähler • "+1" im Nenner? Du musst, um wirklich mathematikkonform zu kürzen, den das gesamte Polynom von Zähler und Nenner betrachten. Wenn du nun also einmal das n vor die Klammer ziehen möchtest - schuldeutsch ausgedrückt -, dann muss du auch "reine Zahlen" durch n teilen. Also müsste bei Dir im Zähler nun stehen: $\begin{eqnarray} n \cdot (n+4- \frac 1n ) \end{eqnarray}$ Verstehst Du das? Wenn ja, dann probier es lieber gleich von Anfang an mit "n²" statt lediglich "n", dann siehst du nach einem Schritt, welcher Grenzwert vorliegt, und dass er existiert.
22.10.2014, 22:43	Lady_Evil	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht warum ich dann so auflösen muss? Kann ich dann nicht die Terme unverändert lassen? Für mich wirkt das irgendwie komplizierter. Umstellen könnte ich es, dann würde die Aufgabe lauten: $\begin{eqnarray} \frac{n²(1+ \frac{4}{n} - \frac{1}{n}) }{n²(1- \frac{5}{n} + \frac{3}{n})} \end{eqnarray}$ Ich könnte das n² wegkürzen, oder? Aber ich verstehe nicht warum das n auch durch die ganzen Zahlen?
23.10.2014, 00:21	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Nehmen wir mal an, wir lassen die Terme unverändert. So gilt für den Grenzwert, wenn wir mal ein paar Schreibregeln brechen folgendes: $\begin{eqnarray} \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n^2+4n-1}{n^2-5n+3} = \frac \infty \infty = ?? \end{eqnarray}$ Das hilft dir nicht weiter. Also muss man bei solchen Termen immer versuchen, die größte Potenz der Grenzwertvariablen auszuklammern. Denn wurde das gemacht, lässt sich dort (meist) viel kürzen, was "ungekürzt" zum obigen Ausdruck führen würde. Betrachtest du nun zum Beispiel $\begin{eqnarray} \frac 1n \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \frac 1{n^2} \end{eqnarray}$ ... also $\begin{eqnarray} \frac 1{n^k} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} k \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , so gilt für alle diese Ausdrücke, dass ihr Grenzwert (für "n gegen Unendlich") gegen 0 strebt. Und das machst du dir hier zu Nutze. Daher auch die "Verkomplizierung". Man erzeugt zwar unschöne Brüche, die erstmal überflüssig oder eben erschwerend wirken, aber man weiß, dass sie auch nicht weiter interessant sind. Probier das mal hiermit. Der Grenzwert selber ist auch eine natürliche Zahl. Leitwolf, sozusagen.
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23.10.2014, 17:42	Lady_Evil	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, habe es mir nochmal erklären lassen und solangsam fange ich an zu verstehen . Danke für deine Hilfe.
23.10.2014, 21:47	DeltaX	Auf diesen Beitrag antworten »
Gern geschehen

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