Ungleichungen von Mittelwerten prüfen

23.10.2014, 11:46

StudentinnenNeuling

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Ungleichungen von Mittelwerten prüfen

Meine Frage:
Hallo Matheboard.

Ich komme nicht weiter.

Es geht um reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} a,b,x,y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a < b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \geq 0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ . Zeigen soll ich jetzt die Gültigkeit der folgenden Ungleichungen über Mittelwerte:

$\begin{eqnarray*} 1) a < \frac{a+b}{2} < b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2) \underbrace{\sqrt{xy}}_{geometrisches Mittel} \leq \underbrace{\frac{x+y}{2}}_{arithmetisches Mittel} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Meine Ansätze sind leider mager. Studenten vor mir haben was von vollständiger Induktion geredet, aber diese hatten wir noch gar nicht in der Vorlesung, jetzt könnte es nächste Woche drankommen, aber was wenn nicht. Nichtsdestotrotz vllt waren die Vermutungen falsch.
Mir kam in den Sinn Fallunterscheidungen zu machen, ist das die Richtige Fährte? Obwohl nein es sind ja die die Bedingungen festgelegt.
Ich weiß also wirklich nicht so recht weiter, hättet Ihr vielleicht Tipps für mich?

Danke und Grüße Euch

Anja

23.10.2014, 11:50

bijektion

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1) Das sollte doch kein Problem sein oder? verwirrt

verwirrt

2) Quadrieren würde schonmal helfen.

EDIT: Im übrigen, vollständige Induktion funktioniert hier gar nicht.

23.10.2014, 12:04

StudentinnenNeuling

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Es ist ein Problem, weil ich Ungleichungen zum ersten Mal sehe. Quadrieren ist aber keine Äquivalenzumformung?

Anja

23.10.2014, 12:15

bijektion

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1) $\begin{eqnarray*} a=\frac{2a}{2} < \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ , jetzt reicht eine Umformung. Die andere Richtung geht analog.

2) Beide Seiten sind nichtnegativ, also ist $\begin{eqnarray*} xy\leq \frac{(x+y)^2}{4} \end{eqnarray*}$ zu zeigen, und das geht etwa mit den Binomischen Formeln.

23.10.2014, 12:25

StudentinnenNeuling

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Zitat:

Original von bijektion
1) $\begin{eqnarray*} a=\frac{2a}{2} < \frac{a+b}{2} \end{eqnarray*}$ , jetzt reicht eine Umformung. Die andere Richtung geht analog.

Eine Umformung? Ist es noch nicht erfüllt? $\begin{eqnarray*} a<b \end{eqnarray*}$ also ist doch $\begin{eqnarray*} a+b \end{eqnarray*}$ entsprechend größer? Was für einen Schritt muss ich dann noch machen?

Die andere Richtung?

Zitat:

Original von bijektion
2) Beide Seiten sind nichtnegativ, also ist $\begin{eqnarray*} xy\leq \frac{(x+y)^2}{4} \end{eqnarray*}$ zu zeigen, und das geht etwa mit den Binomischen Formeln.

$\begin{eqnarray*} xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{x^2+2xy+y^2}{4} \end{eqnarray*}$

Ist doch dann damit auch gezeigt? Kann ja wieder zur besseren Verdeutlichung deinen Erweiterungstrick anwenden

$\begin{eqnarray*} \frac{4xy}{4}\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{x^2+2xy+y^2}{4} \end{eqnarray*}$

Hm aber so ganz ist das ja noch nicht gezeigt, oder?

Liebe Grüße

Anja

25.10.2014, 11:42

StudentinnenNeuling

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Könnte mir jemand noch bitte die letzten Unklarheiten beseitigen mh?

Anja

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26.10.2014, 22:05

StudentinnenNeuling

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Vllt findet sich heute jemand bitte unglücklich

unglücklich

?

26.10.2014, 22:10

URL

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Eine fehlende Umformung sehe ich da auch nicht mehr.
"Andere Richtung" meint vermutlich die zweite Ungleichung $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{2}<b \end{eqnarray*}$ , die noch zu beweisen ist.

Ich würde hier
$\begin{eqnarray*} xy\leq \frac{(x+y)^2}{4} \end{eqnarray*}$ auf beiden Seiten xy subtrahieren.

26.10.2014, 22:20

StudentinnenNeuling

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Okay, danke dir seeeeeeeeeeeeeeeeehr! Umdrehen gut. Aber wieso gilt letztendlich, dass

$\begin{eqnarray*} xy\leq \frac{(x+y)^2}{4} \end{eqnarray*}$

erfüllt ist?

$\begin{eqnarray*} xy\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{x^2+2xy+y^2}{4} \end{eqnarray*}$

Auf beiden Seiten xy liefert nach Erweiterung

$\begin{eqnarray*} \frac{4xy}{4}\leq \frac{(x+y)^2}{4}=\frac{x^2+2xy+y^2}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{x^2-2xy+y^2}{4} \end{eqnarray*}$

Anja

26.10.2014, 22:26

URL

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Ist dir klar, dass du zeigen musst, dass $\begin{eqnarray*} xy\leq \frac{(x+y)^2}{4} \end{eqnarray*}$ gilt.

Jetzt könntest du überlegen, dass deine letzte Ungleichung
$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{x^2-2xy+y^2}{4} \end{eqnarray*}$ für alle x,y richtig ist.
Und weil zwischen der ersten und letzten Ungleichung nur Äquivalenzumformungen liegen, ist auch die erste Ungleichung für alle x,y richtig.

26.10.2014, 22:46

StudentinnenNeuling

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Zitat:

Original von URL
Ist dir klar, dass du zeigen musst, dass $\begin{eqnarray*} xy\leq \frac{(x+y)^2}{4} \end{eqnarray*}$ gilt.
...
Und weil zwischen der ersten und letzten Ungleichung nur Äquivalenzumformungen liegen, ist auch die erste Ungleichung für alle x,y richtig.

Ja aber wie soll ich das machen mehr "umformen" zeigen geht ja nicht mehr.

Anja

26.10.2014, 22:47

URL

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tut mir leid, ich verstehe nicht, wo gerade dein Problem liegt verwirrt

verwirrt

26.10.2014, 23:00

StudentinnenNeuling

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Zitat:

Original von URL
Jetzt könntest du überlegen, dass deine letzte Ungleichung
$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{x^2-2xy+y^2}{4} \end{eqnarray*}$ für alle x,y richtig ist.
Und weil zwischen der ersten und letzten Ungleichung nur Äquivalenzumformungen liegen, ist auch die erste Ungleichung für alle x,y richtig.

Aber wieso das sind ja Annahmen und keine Beweise insofern, finde ich. I.wie erscheint mir das alles zu einfach, ich meine ein Umformungsschritt und die Aufgabe ist gezeigt?

26.10.2014, 23:10

URL

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Hast du dir denn überlegt, warum $\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{x^2-2xy+y^2}{4} \end{eqnarray*}$ für alle x,y richtig ist?
Wie begründest du das? Erst wenn du das begründet hast, bist du fertig.

Die Aufgabe ist ja auch nicht so schwer geschockt

geschockt

26.10.2014, 23:14

StudentinnenNeuling

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Ja das ist eine gute Frage. Ja ich denke das x zum Quadrat addiert mit y zum Quadrat einfach größer oder gleich -2xy sein muss dementsprechend alles größer oder gleich Null.

26.10.2014, 23:18

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"Denk ich mir so" ist eine ziemlich dürftige Begründung.
Wie bijektion schon am Anfang schrieb: Binomischen Formeln....

26.10.2014, 23:49

StudentinnenNeuling

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Und es gilt wegen den binomischen Formeln? Okay die sind ja größer Null mhm..

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