Möbiustransformation

23.10.2014, 10:09

Romaxx

Möbiustransformation

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} a\in\mathbb C \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |a|\neq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f:\mathbb C* -> \mathbb C* \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{z-a}{z+\overline{a}} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} i\mathbb R \end{eqnarray*}$ , mit unendlich, auf den Einheitskreis abbildet.

23.10.2014, 10:46

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Möbiustransformation
Mach doch einfach den Ansatz: $\begin{align*} z= ix, x\in \mathbb R \end{align*}$ und bilde den Betrag von $\begin{align*} f(ix) \end{align*}$ . Den Fall $\begin{align*} x\to \pm\infty \end{align*}$ musst du gesondert als Grenzwert berechnen.

23.10.2014, 11:25

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich komme bis $\begin{eqnarray*} |\frac{x^2+2ixa-a^2}{|ix+\overline{a}|}| \end{eqnarray*}$

Oder bei weiter ausmultiplizieren:

$\begin{eqnarray*} |\frac{(x-s)^2-r^2+i(2xr-2rs)}{\sqrt{(x-s)^2+r^2}}| \end{eqnarray*}$ , für $\begin{eqnarray*} a=r+is \end{eqnarray*}$

lohnt sich das weiterzu machen?

23.10.2014, 11:37

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Du machst es dir etwas zu kompliziert.

Sei $\begin{align*} a = b+ci \end{align*}$ .

Nun schau dir mal Real- und Imaginärteil von $\begin{align*} ix-a \end{align*}$ und $\begin{align*} ix+\overline a \end{align*}$ an.

Was folgt für die Beträge dieser beiden Zahlen? Was folgt für den Betrag des Quotienten?

23.10.2014, 11:39

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß jetzt nicht, was du da gerechnet hast. Es reicht doch, das Betragsquadrat auszurechnen. Bilde also mal $\begin{align*} \lvert f(ix)\rvert^2=f(ix)\cdot \overline{f(ix)} \end{align*}$ . Wie das konjugiert komplexe von $\begin{align*} f(ix) \end{align*}$ aussieht, ist hoffentlich klar.

23.10.2014, 13:15

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut, die Beträge sind jeweils gleich, also ist der Betrag von f (z) gleich 1, d.h. die Funktionswerte sind komplexe Zahlen mit Abstand 1, also liegen diese auf dem Kreis um Null mit Radius 1.

23.10.2014, 16:57

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt zu dieser Aufgabe noch eine weitere Teilaufgabe:

Angenommen $\begin{eqnarray*} Re(a)>0 \end{eqnarray*}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C: Re(z)>0\} \end{eqnarray*}$ .

Ich habe mir die Spur eines Punktes mit den entsprechenden Koordinaten (Realteil, Imaginärteil) in Geogebra zeichen lassen. Dort erhalten ich eine um 90° nach links (im Uhrzeigersinn) gedrehte Parabelform, die als Scheitel $\begin{eqnarray*} (-a,0) \end{eqnarray*}$ . Kann mir das jemand bestätigen?

23.10.2014, 19:27

Leopold

Auf diesen Beitrag antworten »

Könntest du das richtigstellen? Es ergibt so keinen Sinn.

Zitat:

Original von Romaxx
Angenommen $\begin{eqnarray*} Re(a)>0 \end{eqnarray*}$ . Was ist dann $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C: \color{red} Re(z)>0 \color{black} \} \end{eqnarray*}$ .

Meinst du $\begin{eqnarray*} \operatorname{Re} f(z) > 0 \end{eqnarray*}$ ?

24.10.2014, 06:24

Romaxx

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Könnte das wohl ein Tippfehler sein?

Neue Frage »

Antworten »

Möbiustransformation

Verwandte Themen