Vollständige Induktion

23.10.2014, 12:36

Einstein1879

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Vollständige Induktion

Hi,

1) Zeige, dass die Zahl $\begin{eqnarray*} 5^n+7 \end{eqnarray*}$ für jedes $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ durch 4 teilbar ist.

2) Zeige, dass für jede natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Gleichheit

$\begin{eqnarray*} (n+1) \cdot (n+2) \cdot (n+3) \cdot ... \cdot (2n)=2^n \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot ... \cdot (2n-1) \end{eqnarray*}$

gilt.

23.10.2014, 12:38

Math1986

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RE: Vollständige Induktion
Na, dann fang doch mal zumindest mit einem Ansatz zur vollständigen Induktion an und frag nach, wenn dabei wirklich Probleme auftreten.

23.10.2014, 12:58

Einstein1879

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Hier mal der Anfang des Beweises zu 1.

Die Aussage $\begin{eqnarray*} 5^n+7 \end{eqnarray*}$ ist durch 4 teilbar, kann man auch mithilfe des Summenzeichens schreiben.

$\begin{eqnarray*} 5^n+7=\sum\limits_{k=1}^n (5^n+7) \end{eqnarray*}$

IA. (Induktionsanfang): n=1

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^1 (5^1+7)=12 \end{eqnarray*}$ und 12 ist durch 4 teilbar. Damit ist die Behauptung im Fall n=1 korrekt.

IS. (Induktionsschritt): n=(n+1)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{n+1} (5^n+7)=\sum\limits_{k=1}^{n} (5^n+7)+(5^n+7)=(5^n+7)+(5^n+7)=2(5^n+7) \end{eqnarray*}$

Ist das soweit schonmal korrekt? Wenn nicht, wo liegt der Fehler?

23.10.2014, 13:02

RavenOnJ

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RE: Vollständige Induktion
zu 1): Kleiner Tipp: 5 = 4 + 1
zu 2): Wurde schon an anderer Stelle hier behandelt.

23.10.2014, 13:07

Math1986

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Die Darstellung der Summe ist schon falsch, wie du durch einfaches Nachrechnen auch selbst sehen kannst.
Mit Summen hat diese Aufgabe gar nichts zu tun. Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} 5^n+7 \end{eqnarray*}$ durch 4 teilbar ist, wie sieht also der Imduktionsanfang für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ aus?

23.10.2014, 13:17

Einstein1879

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Hammer

Jetzt wo du es sagst, fällt mir das auch auf, dass die Aufgabe nichts mit Summen zu tun hat.

1)

IA. (Induktionsanfang): n=1

$\begin{eqnarray*} 5^1+7=12 \end{eqnarray*}$ Und 12 ist durch 4 teilbar. Damit ist die Annahme für n=1 korrekt.

IS. (Induktionsschritt): n=n+1

$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}+7= \end{eqnarray*}$

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23.10.2014, 13:25

Math1986

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Der Induktionsanfang ist richtig, nun kannst du den Induktionsschritt angehen, also die Induktionsannahme anwenden (siehe Hinweis von RavenOnJ).

23.10.2014, 13:31

Mathema

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Entschuldigt die Einmischung - aber ich habe den Hinweis von RavenOnJ eher so verstanden, dass eine Induktion hier völlig überflüssig ist (wenn man die Reste betrachtet).

Wenn dieses allerdings unbekannt ist, dann führt die Induktion natürlich auch leicht an das Ziel.

23.10.2014, 13:35

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Mathema
aber ich habe den Hinweis von RavenOnJ eher so verstanden, dass eine Induktion hier völlig überflüssig ist (wenn man die Reste betrachtet).

Meinen Tipp kann man auch in einen Induktionsbeweis einbauen.

23.10.2014, 13:56

Math1986

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@Mathema: Da im Titel explizit "vollständige Induktion" steht gehe ich davon aus dass man auch eine solche anwenden muss, weil in der Aufgabenstellung gefordert.

Den Tipp von RavenOnJ hätte ich bei dem Induktionsschritt auch schon gebracht.

23.10.2014, 14:00

Einstein1879

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$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}+7=(5^n+7)+(n+1) \end{eqnarray*}$

23.10.2014, 14:12

Math1986

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Zitat:

Original von Einstein1879
$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}+7=(5^n+7)+(n+1) \end{eqnarray*}$

Bitte nochmal nachrechnen!

23.10.2014, 14:15

URL

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Dieser Unfug scheint ansteckend zu sein

23.10.2014, 14:28

Einstein1879

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So, ich glaube, ich hab's jetzt.

$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}+7=5 \cdot 5^n+7=4 \cdot 5^n+5^n+7 \end{eqnarray*}$

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Jetzt zu Aufgabe 2.

23.10.2014, 14:32

Math1986

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Zitat:

Original von Einstein1879
So, ich glaube, ich hab's jetzt.

$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}+7=5 \cdot 5^n+7=4 \cdot 5^n+5^n+7 \end{eqnarray*}$

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Soweit richtig.Warum ist der rechte Term durch Vier teilbar?

Zitat:

Original von Einstein1879
Jetzt zu Aufgabe 2.

Na los, fang an.

23.10.2014, 14:57

Einstein1879

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Zitat:

Original von Math1986

Zitat:

Original von Einstein1879
So, ich glaube, ich hab's jetzt.

$\begin{eqnarray*} 5^{n+1}+7=5 \cdot 5^n+7=4 \cdot 5^n+5^n+7 \end{eqnarray*}$

Damit ist die Behauptung bewiesen.

Soweit richtig.Warum ist der rechte Term durch Vier teilbar?

Der rechte Teil ist durch 4 teilbar, da $\begin{eqnarray*} 4 \cdot 5^n \end{eqnarray*}$ durch 4 teilbar ist und für $\begin{eqnarray*} 5^n+7 \end{eqnarray*}$ hatten wir ja oben schon gezeigt, dass das durch 4 teilbar ist.

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