n unterscheidbare Kugeln auf m nicht unterscheidbare Urnen verteilen

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Nooster Auf diesen Beitrag antworten »
n unterscheidbare Kugeln auf m nicht unterscheidbare Urnen verteilen
Meine Frage:
Hallo! Ich habe folgende Fragestellung:

Gegeben sind n unterscheidbare Kugeln und m nicht unterscheidbare Urnen. Zusätzlich gilt:

mit

Es sollen alle n Kugeln aufgeteilt werden, sodass in jeder Urne gleich viele Kugeln sind.

Konkret sind folgende Zahlen gegeben: n= 144, m=6

Frage: Wie viele Kombinationen sind möglich?

Meine Ideen:
Die üblichen Ansätze befassen sich leider nur mit Kriterien wie »nur ein Ball pro Urne« oder »keine Urne darf leer sein«, das ist aber nicht das, was ich brauche.

http://de.wikipedia.org/wiki/Abzählende_Kombinatorik#B.C3.A4lle_und_F.C3.A4cher
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst das Zufallsexperiment auch folgendermaßen interpretieren:

Wir legen alle Kugeln zufällig in eine lange Reihe. Dafür gibt es Möglichkeiten.

Nun machen wir immer nach k Kugeln eine Trennwand. Somit haben wir die Kugeln in m Gruppen à k Kugeln aufgeteilt. Ob jetzt Trennwand oder Urne ist ja egal.

Jetzt musst du nur noch die Möglichkeiten rausteilen, die die selbe Konfiguration ergeben: Du kannst die Kugeln innerhalb der selben Gruppe beliebig permutieren und du kannst ganze Gruppen beliebig permutieren.
Nooster Auf diesen Beitrag antworten »

Diesen Ansatz habe ich auch schon mal überlegt, aber was du in deinem letzten Satz geschrieben hast, zeigt genau das Problem, das ich mit diesem Ansatz hatte!

für n=9 und m=3:

123|456|789 ist das gleiche wie 321|456|789, da es ja egal ist, in welcher Reihenfolge die Kugeln in der Urne sind. Außerdem wäre die folgende Kombination ebenfalls gleichbedeutend: 456|789|123, da die Urnen nicht unterscheidbar sind.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, damit hast du doch eigentlich alles Nötige verstanden.

Wir haben m Urnen/Gruppen: Die kannst du beliebig permutieren und erhältst die selbe Konfiguration. Wie viele Möglichkeiten sind das?


Dann haben wir in jeder Urne/Gruppe k Kugeln. Die kannst du auch beliebig permutieren, ohne die Konfiguration zu ändern. Wie viele Möglich sind das pro Urne? Wie viele Möglichkeiten sind das insgesamt?


Dann musst du nur noch n! durch alle diese Möglichkeiten teilen.


PS: Ein anderer Ansatz wäre sukzessive vorzugehen und dann erhältst du als Ergebnis in etwa ein Produkt von Binomialkoeffizienten, das du vereinfachen kannst und zum selben Ergebnis kommst. Aber ich würde obigen Ansatz verfolgen.
Nooster Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal herzlich Glückwunsch zum 10.000 Post.

Dann mal hübsch aufbereitet:

  • m! für das Permutieren der Urnen
  • m*(n/m)! für das Permutieren innerhalb der Urne, in allen Urnen (darum nochmal mal m)


Damit ergibt sich:

ist das so richtig?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Warum mal m?

Du hast ja für jede Urne Möglichkeiten und das für m Urnen. Also wäre angebrachter Augenzwinkern
 
 
Nooster Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast recht, thx für deine Hilfe! Freude
Nooster Auf diesen Beitrag antworten »

Mit meinem Zahlenbeispiel ergibt sich übrigens:

Hammer
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Nebenbei bemerkt: Das ist auch eine schöne kombinatorische Begründung dafür, dass ganzzahlig ist bzw. anders formuliert, dass der Multinomialkoeffizient durch teilbar ist:

Rein algebraisch (zahlentheoretisch) begründet ist die Ganzzahligkeit dieses Multinomialkoeffizienten kein Problem - dass dann aber auch noch Teilbarkeit durch besteht, ist damit nicht so ohne weiteres klar.
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