Bestimmen Sie alle Homomorphismen...

23.10.2014, 15:38	L.Podolski	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen Sie alle Homomorphismen... Meine Frage: Hallo zusammen, Ich bin im 3.Semester in die reine Algebra Vorlesung gestolpert und komme mit der "Sprache" der Algebra nicht klar. Kann mir jemand von Grund auf erklären, was mit folgender Aufgabe gemeint ist. Bitte nicht erbosen, wenn ich blöde Nachfrage stelle, weil ich wirklich an der Lösung interessiert bin, aber nicht mit den Begriffen umgehen kann. Bestimmen Sie alle Homomorphismen von $\begin{eqnarray} {\phi : \mathbb Z_{9} \to \mathbb Z_{12}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ich kenne die Definition von Homomorphismus.
23.10.2014, 16:01	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmen Sie alle Homomorphismen... Gruppen? Zwischen $\begin{eqnarray} \mathbb Z_9 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{12} \end{eqnarray}$ kann man ja alle möglichen Abbildungen konstruieren. Die Frage ist: Welche davon sind nun Homomorphismen? Homomorphismen haben ja bestimmte Eigenschaften. Ich kann ja z.B. hergehen und die Abbildung $\begin{eqnarray} \phi: \mathbb Z_9 \to \mathbb Z_{12} \, , \, x \mapsto \overline 1 \end{eqnarray}$ basteln. Also die Abbildung, die einfach ganz stur alles auf die 1 in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{12} \end{eqnarray}$ schickt. Das ist eine Abbildung zwischen diesen beiden Gruppen. Aber sicherlich kein Homomorphismus! Dadurch, dass so ein Homomorphismus eben bestimmte Eigenschaften erfüllen muss, gibt es nicht viele davon. Du sollst nun alle Homomorphismen finden, die es gibt. Ein Startschuss: Alle Elemente aus $\begin{eqnarray} \mathbb Z_9 \end{eqnarray}$ müssen ja auf irgendein Element in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_{12} \end{eqnarray}$ abgebildet werden. Auch die 1. Man könnte jetzt z.B. festlegen: f(1)=1. Wenn man einen Homomorphismus vorliegen hat, ist damit schon die komplette Abbildung vollständig definiert. Denn z.B. wäre ja dann f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)=2. Und so weiter und so fort. Die Frage ist aber nun: Ist das ein Homomorphismus? Wenn ja, warum? Wenn nein, wo ergeben sich Widersprüche? Jedenfalls wird allein deshalb schon klar: Mehr als 12 Homomorphismen kann es so oder so nicht geben. Weil das Bild der 1 schon alles festlegt. Und da gibt es nur 12 Möglichkeiten. Und es sind in Wirklichkeit auch weit weniger als 12. Zur Not kann man hier einfach stur rumprobieren. Es kommt eben auf deinen Wissenstand an. Man kann sich vieles vereinfachen, wenn man die dazu erforderlichen Sätze aus der Vorlesung bereits kennt. Zum Beispiel muss die Ordnung von f(x) in Z_12 ein Teiler der Ordnung von x in Z_9 sein. Wenn man das schon weiß, fällt schon mal verdammt viel raus. Aber ich kenne den Stand eurer Vorlesung nicht. Wie gesagt: Im Zweifelsfall kann man alles stur durchrechnen. Dazu muss man gar nicht viel wissen. Es ist nur etwas mehr Arbeit dann.

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