Vollständige Induktion

23.10.2014, 16:04

dina1994

Vollständige Induktion

Meine Frage:
Hallo meine Lieben ,

ich habe eine Frage ,da ich garnicht verstehe wie man drauf kommt.
Ich soll die folgende Aussage mit vollständiger Induktion beweisen ; Für jede natürliche Zahl n>=10 gilt : n^3 <=2^n
Also den Induktionsanfang und Induktionsvorraussetzung habe ich ,jedoch versteh ich nicht ganz wie ich zum induktionsschluss gelange.

Meine Ideen:
Ich habe auch den Induktionsschluss nur versteh ich die einzelnen Schritte nicht :

IS : n^3 <= 2^n

(n+1)^3 = n^3+3n^2+3n+1
<= 2^n+3n^2+3n+1 ( warum steht da jetzt plus ist das nicht minus weil wir das rüberziehen damit auf der anderen seite nur n^3 bleibt ?)

<= 2^n+3n^2+3n^2+n^2 ( warum steht da jetzt auf einmal 3n^2 und n^2 ?)
= 2^n +7n^2 <= 2^n +n^3 ( warum steht da jetzt 2^n plus n^3??)
<= 2^n +2^n = 2*2^n= 2^n+1

Ich würde mich freuen ,wenn mir jemanden die einzelnen Zeilen erklärt.

Danke im vorraus smile

23.10.2014, 16:27

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
Hallo,
Also die Aussage ist $\begin{eqnarray*} n^3 \leq2^n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N,n\geq 10 \end{eqnarray*}$
Wie sieht also erstmal dein Induktionsanfang aus?

Im Prinzip schätzt du eigendlich nur die einzelnen Summanden nach oben hin ab, das darfst du machen solange du nicht über die zu zeigende Schranke hinausgehst.
$\begin{eqnarray*} (n+1)^3 = \underbrace{n^3}_{\leq 2^n}+3n^2+\underbrace{3n}_{\leq 3n^2} +\underbrace{1}_{\leq n^2}\leq 2^n+\underbrace{3n^2+3n^2+n^2}_{=7n^2\leq n^3\leq 2^n}\leq 2^n +2^n = 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

23.10.2014, 17:31

dina1994

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
jaaa aber wie komme ich auf diese Zeile z.B

<= 2^n +3n^2+3n^2+n^2 ???? wie kommen diese einzelnen zahlen zustande

23.10.2014, 17:37

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von dina1994
jaaa aber wie komme ich auf diese Zeile z.B

<= 2^n +3n^2+3n^2+n^2 ???? wie kommen diese einzelnen zahlen zustande

Wie meinst du das? Ist dir unklar, warum diese ungleichungen richtig sind, oder ist dir unklar, wie man sich diese Ungleichungen herleitet?

Im Prinzip ist das mit dem Abschätzen mehr oder weniger Versuch und Irrtum, man schreibt sich einfach hin, was links und rechts stehen soll, und versucht dann, durch einzelne Ungleichungen sukzessive die gewünschte Behauptung zu zeigen. Eine Art Geheimrezept gibt es da nicht.

23.10.2014, 18:01

dina1994

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
achso ok...ich verstehe diese herleitung von der ungleichung nicht so ... verwirrt

23.10.2014, 18:05

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von dina1994
achso ok...ich verstehe diese herleitung von der ungleichung nicht so ... verwirrt

Welche Ungleichung? Ich habe es dir oben hergeleitet, es stecken mehrer Ungleichungen in dieser Ungleichung. Sag mir doch einfach welche du nicht verstehst.

23.10.2014, 18:13

dina1994

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
ich verstehe die zweite Ungleichung nicht ,die erste ist ja einfach die binomische formel (n+1)^3

23.10.2014, 18:20

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von dina1994
ich verstehe die zweite Ungleichung nicht ,die erste ist ja einfach die binomische formel (n+1)^3

Siehe hier
$\begin{eqnarray*} (n+1)^3 = \underbrace{n^3}_{\leq 2^n}+3n^2+\underbrace{3n}_{\leq 3n^2} +\underbrace{1}_{\leq n^2}\leq 2^n+\underbrace{3n^2+3n^2+n^2}_{=7n^2\leq n^3\leq 2^n}\leq 2^n +2^n = 2^{n+1} \end{eqnarray*}$
Ich habe mit den Unterstreichungen schon dazugeschrieben wie man abschätzt.
Was genau ist dir nun unklar, $\begin{eqnarray*} n^3\leq 2^n \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} 3n\leq 3n^2 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} 1\leq n^2 \end{eqnarray*}$ ?

23.10.2014, 18:24

dina1994

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
mir ist unklar wie ich auf die 2^n +3n^2+3n^2+n^2 ich verstehe nicht wie man da drauf kommt ist das einfach so geraten oder woher hat man diese zahlen ?? mir ist klar das diese Gleichung größer der ersten ist nur ich versteh nicht wie z.b zweimal diese 3n^2 und n^2 zustande kommen.

danke

23.10.2014, 18:29

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion

Zitat:

Original von dina1994
mir ist unklar wie ich auf die 2^n +3n^2+3n^2+n^2 ich verstehe nicht wie man da drauf kommt ist das einfach so geraten oder woher hat man diese zahlen ??

Nun, ich hatte dazu schon etwas geschrieben:

Im Prinzip ist das mit dem Abschätzen mehr oder weniger Versuch und Irrtum, man schreibt sich einfach hin, was links und rechts stehen soll, und versucht dann, durch einzelne Ungleichungen sukzessive die gewünschte Behauptung zu zeigen. Eine Art Geheimrezept gibt es da nicht.

Es ist daher müßig, dieselbe Frage mehrfach zu stellen.

23.10.2014, 18:34

dina1994

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Vollständige Induktion
ok danke smile

Neue Frage »

Antworten »

Vollständige Induktion

Verwandte Themen