Nullstellenberechnung von Polynomen mit Parametern

23.10.2014, 16:33

Michi-261988

Nullstellenberechnung von Polynomen mit Parametern

Meine Frage:
Hallo liebes Forum,

ich habe mal wieder eine Aufgabe wo ich verzweifle.

Ich kommes nicht auf die Lösung!

$\begin{eqnarray*} x^4-3kx^2+2k^2 \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} k>0 \end{eqnarray*}$

Die Lösung ist:

$\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{2k} \wedge \pm \sqrt{k} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe versucht die Aufgabe mit Substitution $\begin{eqnarray*} u=x^2 \end{eqnarray*}$ und der quadratischen Ergänzung zu lösen:

$\begin{eqnarray*} \left(u-\frac{3}{2}k \right) ^2= \frac{1}{4}k^2 \end{eqnarray*}$

Als Ergebnis komme ich auch auf eine Teillösung von $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{k} \end{eqnarray*}$

Bei der Fallunterscheidung war ein Fall nicht definiert.

Soo... nun weiß ich nicht weiter.

Ich hatte auch schon folgendes probiert:

Lösung durch Substitution $\begin{eqnarray*} u=x^2 \end{eqnarray*}$ und der p/q-Formel

Dort hatte ich das Zwischenergebnis $\begin{eqnarray*} L_{1} =3k-k\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} L_{2} =-k\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Was sich bei der Rücksubstitution wir folgt darstellt:

$\begin{eqnarray*} x^2=k\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x^2=3k+k\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Aber irgendwie bringt mich das nicht weiter.

Vielen Dank für eure Hilfe! ;-)

23.10.2014, 16:48

Helferlein

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RE: Nullstellenberechnung von Polynomen mit Parametern
Welcher Fall war bei Dir denn nicht definiert?

$\begin{eqnarray*} \left(u-\frac{3}{2}k \right) ^2= \frac{1}{4}k^2 \Rightarrow u=\pm\frac 12k+\frac 32k \end{eqnarray*}$

und für k>0 sind das sind beides positive Lösungen.

23.10.2014, 16:50

adiutor62

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RE: Nullstellenberechnung von Polynomen mit Parametern
$\begin{eqnarray*} x^2=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^2-3ku+2k^2>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{1,2}=1,5k\pm\sqrt{2,25k^2-2k^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{1,2}=1,5k\pm0,5k \end{eqnarray*}$

EDIT: Bin raus.

23.10.2014, 16:55

DrSchlau

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Das mit der p/q-Formel ist für mich die beste Idee. Schreib's nochmal sauber auf und rechne neu, die Zwischenergebnisse L1 und L2 sind falsch, es kommen Ausdrücke ganz ohne Wurzel raus.

Edit: Ups, da war einer schneller. Vor allem brauchst Du es nur noch abschreiben.

23.10.2014, 16:56

Michi-261988

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RE: Nullstellenberechnung von Polynomen mit Parametern
Ja, das ist soweit korrekt, aber bei der Rücksubstitution heißt es doch dann:

$\begin{eqnarray*} x^2=-k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2=k \end{eqnarray*}$

Wobei der erste Fall nicht möglich ist, da k negativ ist und lt. Aufgabe ist k>0 und die negative Wurzel wäre doch auch so nicht gegangen, stimmts?

23.10.2014, 16:59

Helferlein

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Nein, stimmt nicht. Wo hast Du das -k her?

Es ist weder $\begin{eqnarray*} \frac 32 k - \frac 12k = -k \end{eqnarray*}$ , noch $\begin{eqnarray*} \frac 32 k + \frac 12k = -k \end{eqnarray*}$

23.10.2014, 17:00

Michi-261988

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RE: Nullstellenberechnung von Polynomen mit Parametern

Zitat:

Original von adiutor62
$\begin{eqnarray*} x^2=u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u^2-3ku+2k^2>0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{1,2}=1,5k\pm\sqrt{2,25k^2-2k^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u_{1,2}=1,5k\pm0,5k \end{eqnarray*}$

EDIT: Bin raus.

Aber die Wurzel aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{2k^2} =k\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ oder nicht?

23.10.2014, 17:01

DrSchlau

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RE: Nullstellenberechnung von Polynomen mit Parametern

Zitat:

Original von Michi-261988
Ja, das ist soweit korrekt, aber bei der Rücksubstitution heißt es doch dann:

$\begin{eqnarray*} x^2=-k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2=k \end{eqnarray*}$

Nein, die beiden ersten Lösungen ergeben sich aus $\begin{eqnarray*} x^2=u_1 \end{eqnarray*}$ , zwei weitere aus $\begin{eqnarray*} x^2=u_1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} u_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_2 \end{eqnarray*}$ sind aber nicht k und -k.

23.10.2014, 17:08

Michi-261988

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Ahhh... so ein blöder Fehler! 1,5 + 0,5 sollte natürlich 2 sein... Wie komme ich denn auf -1 Hammer

Vorzeichenfehler

Danke!!!!

Aber das mit der Wurzel versteh ich noch nicht....

Aber die Wurzel aus $\begin{eqnarray*} \sqrt{2k^2} =k\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ oder nicht?

23.10.2014, 17:12

Helferlein

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Das ist richtig, taucht aber in der Rechnung nirgends auf.

23.10.2014, 17:16

Michi-261988

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Doch im Beispiel von Auditor62 geschockt