Kongruenz

23.10.2014, 19:00

evinda

Kongruenz

Hallo!!!

Ich will die p-adische Entwicklung von $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ im Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}_3 \end{eqnarray*}$ finden.

Ich habe folgendes versucht:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2} \pmod 3 \Rightarrow 2x \equiv 1 \pmod 3 \Rightarrow x\equiv 2\pmod 3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x \equiv 1 \pmod{3^2} \Rightarrow x \equiv 5 \pmod 9 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x \equiv 1 \pmod {3^3 } \Rightarrow x\equiv 14 \pmod{27} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x \equiv 1 \pmod {3^4} \Rightarrow x \equiv 41 \pmod{3^4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x \equiv 1\pmod{3^5} \Rightarrow x \equiv 122 \pmod{3^5} \end{eqnarray*}$

Danach habe ich die Formel $\begin{eqnarray*} x_n=\sum_{i=0}^{n} a_i 3^i \end{eqnarray*}$ benutzt, und habe gefunden, dass $\begin{eqnarray*} a_0=2, a_1=1,a_2=1, a_3=1 \end{eqnarray*}$ .

Gibt es eine Formel, die man benutzen könnte, um die Koeffizienten der unendlichen Reihe zu finden? verwirrt

24.10.2014, 09:54

HAL 9000

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Welche Formeln brauchst du denn noch? Deine Kongruenz $\begin{align*} 2x_n\equiv 1\bmod 3^n \end{align*}$ hat offenbar die Lösung $\begin{align*} x_n\equiv \frac{3^n+1}{2} \bmod 3^n \end{align*}$ , und über die geometrische Reihe ist

$\begin{align*} \frac{3^n+1}{2} = 1 + \frac{3^n-1}{3-1} = 1+\sum_{i=0}^{n-1} 3^i \end{align*}$

klar.

26.10.2014, 01:56

evinda

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Zitat:

Original von HAL 9000
Welche Formeln brauchst du denn noch? Deine Kongruenz $\begin{align*} 2x_n\equiv 1\bmod 3^n \end{align*}$ hat offenbar die Lösung $\begin{align*} x_n\equiv \frac{3^n+1}{2} \bmod 3^n \end{align*}$

Wie könnte man beweisen, dass die Kongruenz $\begin{align*} 2x_n\equiv 1\bmod 3^n \end{align*}$ , die Lösung $\begin{align*} x_n\equiv \frac{3^n+1}{2} \bmod 3^n \end{align*}$ hat?

Zitat:

Original von HAL 9000
und über die geometrische Reihe ist

$\begin{align*} \frac{3^n+1}{2} = 1 + \frac{3^n-1}{3-1} = 1+\sum_{i=0}^{n-1} 3^i \end{align*}$

klar.

Also, von der Formel $\begin{align*} \frac{3^n+1}{2} = 1 + \frac{3^n-1}{3-1} = 2+\sum_{i=1}^{n-1} 3^i \end{align*}$

sieht man, dass $\begin{align*} a_0=2 \end{align*}$ , $\begin{align*} a_i=1, \forall 1 \leq i \leq n-1 \end{align*}$ und $\begin{align*} a_n=0 \end{align*}$ ?

Muss man das auch beweisen? verwirrt

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