Algebra der endlichen und co-endlichen Menge ist (endlich) additiv?

23.10.2014, 21:33

peter_zwegat

Algebra der endlichen und co-endlichen Menge ist (endlich) additiv?

Hallo matheboard!

Betrachtet wird die Algebra aller endlichen und co-endlichen Mengen:

$\begin{eqnarray*} \Omega = \mathbb{N}<br /> \mathcal{A} := \left\{ A \subset \mathbb{N}; A \text{ endlich }\text{oder }A^c \text{endlich}\right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu (A) = \begin{cases}1, & A\text{ unendlich}<br /> 0, & \text{sonst}\end{cases} \end{eqnarray*}$

Nun ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ "(endlich) additiv" ist, also:

$\begin{eqnarray*} \mu(\bigcup \limits_{i=1}^{m} A_{i}) = \sum \limits_{i=1}^{m} \mu(A_{i}) \end{eqnarray*}$

Betrachte ich aber nun beispielsweise $\begin{eqnarray*} A_{1} = \mathbb{N}\setminus {\left\{ 1\right\} } \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} A_{2} = \mathbb{N}\setminus {\left\{ 2\right\} } \end{eqnarray*}$ (Komplement ist jeweils abzählbar) $\begin{eqnarray*} \in \mathcal{A} \end{eqnarray*}$ , dann:
$\begin{eqnarray*} \bigcup \limits_{i=1}^{2} A_{i} = \infty \end{eqnarray*}$ , also

$\begin{eqnarray*} \mu(\bigcup \limits_{i=1}^{2} A_{i}) = 1 \end{eqnarray*}$ , aber:

$\begin{eqnarray*} \sum \limits_{i=1}^{2} \mu(A_{i}) = 1+1 = 2 \neq 1 \end{eqnarray*}$

Demnach wäre $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ nicht endlich additiv.

Wer kann mir helfen und mir sagen, was ich falsch gemacht habe.

23.10.2014, 21:37

HAL 9000

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Die Eigenschaft der Additivität bezieht sich auf disjunkte Mengen!!! $\begin{align*} A_1 \end{align*}$ und $\begin{align*} A_2 \end{align*}$ in deinem Beispiel sind alles andere als disjunkt. unglücklich

23.10.2014, 21:38

peter_zwegat

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Danke!

23.10.2014, 22:56

peter_zwegat

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Den Beweis mmöchte ich dann niemandem schuldig bleiben:

Seien $\begin{eqnarray*} A_{i} \forall i \in \left\{ 1,....,m\right\} \end{eqnarray*}$ pwd.

1. Fall:

$\begin{eqnarray*} \bigcup \limits_{i=1}^{m} A_{i} = \infty \Rightarrow \mu(\bigcup \limits_{i=1}^{m} A_{i}) = 1 \overset{!}{=}\sum \limits_{i=1}^{m} \mu(A_{i}) \end{eqnarray*}$

Also noch z.z.: $\begin{eqnarray*} \exists ! i: A_{i} = \infty \end{eqnarray*}$ (1.1)

Annahme: $\begin{eqnarray*} \exists i \neq j : A_{j} = \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A_{j} = \infty \Rightarrow A_{j}^c < \infty \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \overset{pwd.}\Rightarrow (\Omega\setminus A_{i}^c)\cap (\Omega\setminus A_{j}^c) = \emptyset \end{eqnarray*}$ Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} A_{i}^c \neq A_{j}^c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_{j}^c, A_{i}^c \end{eqnarray*}$ endlich.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (1.1)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum \limits_{i=1}^{m} \mu(A_{i}) = 1 \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} \bigcup \limits_{i=1}^{m} A_{i} < \infty \Rightarrow A_{i} < \infty \forall i \in \left\{ 1,....,m\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mu(\bigcup \limits_{i=1}^{m} A_{i}) = 0 =\sum \limits_{i=1}^{m} \mu(A_{i}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mu \end{eqnarray*}$ ist endlich additiv.

24.10.2014, 10:21

HAL 9000

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Bitte unterscheide in deiner Symbolik zwischen den Mengen $\begin{align*} A_i \end{align*}$ und deren Kardinalität $\begin{align*} |A_i| \end{align*}$ :

Es heißt also z.B. $\begin{align*} A_1=\mathbb{N}\setminus \{1\} \end{align*}$ mit $\begin{align*} |A_1|=\infty \end{align*}$ usw., aber nicht $\begin{align*} A_1=\infty \end{align*}$ . unglücklich

24.10.2014, 13:44

peter_zwegat

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Danke für den Hinweis. Ich bin wohl fälschlicherweise davon ausgegangen, dass diese - zugegeben etwas nachlässige- Notation, zulässig ist, falls klar ist, was gemeint ist. Man sagt schließlich auch "unendliche Menge" und nicht "Menge, deren Kardinalität unendlich ist".

Richtig könnte es also auch so aussehen:

Zitat:

Seien $\begin{eqnarray*} A_{i} \forall i \in \left\{ 1,....,m\right\} \end{eqnarray*}$ pwd.

1. Fall:

$\begin{eqnarray*} \bigcup \limits_{i=1}^{m} A_{i} \text{ unendlich } \Rightarrow \mu(\bigcup \limits_{i=1}^{m} A_{i}) = 1 \overset{!}{=}\sum \limits_{i=1}^{m} \mu(A_{i}) \end{eqnarray*}$

Also noch z.z.: $\begin{eqnarray*} \exists ! i: A_{i} \end{eqnarray*}$ unendlich ist (1.1)

Annahme: $\begin{eqnarray*} \exists i \neq j : A_{j} \end{eqnarray*}$ unendlich ist

$\begin{eqnarray*} A_{j} = \infty \Rightarrow A_{j}^c \end{eqnarray*}$ ist endlich

$\begin{eqnarray*} \overset{pwd.}\Rightarrow (\Omega\setminus A_{i}^c)\cap (\Omega\setminus A_{j}^c) = \emptyset \end{eqnarray*}$ Widerspruch zu $\begin{eqnarray*} A_{i}^c \neq A_{j}^c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A_{j}^c, A_{i}^c \end{eqnarray*}$ endlich.
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ (1.1)

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \sum \limits_{i=1}^{m} \mu(A_{i}) = 1 \end{eqnarray*}$

Fall 2: $\begin{eqnarray*} \bigcup \limits_{i=1}^{m} A_{i} \text{ ist }\text{endlich} \Rightarrow A_{i} \text{ ist }\text{endlich } \forall i \in \left\{ 1,....,m\right\} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mu(\bigcup \limits_{i=1}^{m} A_{i}) = 0 =\sum \limits_{i=1}^{m} \mu(A_{i}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \mu \end{eqnarray*}$ ist endlich additiv.

Aber sonst zufrieden, Mr. Schüttelkopf?

24.10.2014, 13:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von peter_zwegat
Man sagt schließlich auch "unendliche Menge"

Man sagt auch "einelementige Menge" oder kurz sogar "Einermenge" und meint damit nicht A=1.

Zitat:

Original von peter_zwegat
Aber sonst zufrieden, Mr. Schüttelkopf?

Kann ich nicht sagen, Herr Hinweisignorierer.

Ich bin mit deiner Symbolik eigentlich generell unzufrieden - z.B. hier

Zitat:

Original von peter_zwegat
Annahme: $\begin{eqnarray*} \exists i \neq j : A_{j} \end{eqnarray*}$ unendlich ist

Aus dem Kontext kann ich nur erahnen, dass du einen Widerspruchsbeweis führen willst, beginnend mit der Annahme, dass es zwei unendliche Mengen $\begin{align*} A_i,A_j \end{align*}$ in dieser disjunkten Vereinigung gibt. Das sollte man dann doch aber so ausdrücken

Annahme: $\begin{align*} \exists i,j:\; i\neq j\,\wedge\, \left|A_i \right| = \left|A_j \right| = \infty \end{align*}$

Wieso bei dir nur das $\begin{align*} j \end{align*}$ ? Ein $\begin{align*} i \end{align*}$ ist bis zu diesem Zeitpunkt in der Beweisführung nicht aufgetaucht.

24.10.2014, 14:02

peter_zwegat

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Zitat:

Original von HAL 9000
Man sagt auch "einelementige Menge" und meint damit nicht A=1.

Eben, man sagt gerade nicht "die Menge ist 1" und meint die einelementige Menge.

Dagegen sagt man "Die Menge ist unendlich." und nicht "Die Menge ist unendlichelementig.".
Ich habe bisher einfach noch nicht gesehen, dass man unendlich als ein Element einer Menge auffasst.
Verbessert habe ich es jetzt auf jeden Fall.

Danke jedenfalls für Deine Hilfe.

24.10.2014, 14:09

HAL 9000

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Du verzettelst dich in fragwürdige Rechtfertigungen, die du aus der Sprache abzuleiten versuchst. Kümmere dich lieber um den nach wie vor schlecht lesbaren Beweis.

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