Münzwurf bis Zahl

24.10.2014, 00:38

Pokerstar

Münzwurf bis Zahl

Meine Frage:
Hallo zusammen,

habe folgendes Problem zu lösen:

Sie spielen zu zweit das Spiel "Münze werfen" wie folgt: Sie werfen abwechselnd so oft eine 1 Euro Münze, bis die Zahl erscheint.

a) Sie vereinbaren, dass Sie 10 Euro verlieren, wenn die Zahl sofort erscheint. Falls die erste Zahl später kommt, gewinnen Sie jedoch 10 Euro. Entscheiden Sie, ob das ein faires Spiel für Sie ist.

b) Nun stellt sich heraus, dass die Münze nicht fair ist. Sie sehen, dass der Kopf mit P({K})= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sqrt[3]{2}} \end{eqnarray*}$ erscheint und die Zahl mit P({Z})=1-P({K}). Sie modifizieren nun Ihr Spiel: Sie verlieren 10 Euro, wenn die Zahl innerhalb der ersten 3 Würfe erscheint. Falls die erste Zahl später kommt, gewinnen Sie 10 Euro. Entscheiden Sie, ob dies nun ein faires Spiel für Sie ist.

Meine Ideen:
Nun zu meiner Idee:

Auch wenn es zunächst so aussieht als sei es ein faires Spiel, ist es keins, denn es existiert ja zu mindest theoretisch die Möglichkeit, dass man unendlich oft Kopf wirft (nenne das Ereignis E). Es gilt also:

$\begin{eqnarray*} P({K})=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(E)=\lim_{n \to \infty } (\frac{1}{2}) ^{n} > 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(gewonnen) = P((E \cup {K})^{c}) = 1-\frac{1}{2}-P(E)<\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Das gleiche kann man dann ja auch für b) errechnen, wenn ich nicht komplett falsch liege. Es irritiert mich jedoch etwas, dass eben bei beiden Aufgaben letztlich nahezu die gleichen Rechnungen verlangt werden. Lieg ich mit meiner Idee richtig oder bin ich voll auf dem Holzweg oder habe ich einfach etwas übersehen?

Vielen Dank! Gruß Pokerstar

24.10.2014, 08:42

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pokerstar
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} (\frac{1}{2}) ^{n} > 0 \end{eqnarray*}$

Auch wenn das Ereignis $\begin{align*} E \end{align*}$ nicht unmöglich ist, d.h. $\begin{align*} E\neq \emptyset \end{align*}$ , so gilt dennoch $\begin{align*} P(E)=0 \end{align*}$ , man spricht dann von fast unmöglich.

Scheint so, als wärst du bisher nur in endlichen W-Räumen unterwegs gewesen. Aber auch dein sicher vorhandenes Analysis-Vorwissen hätte dir sagen müssen, dass obige Grenzwertaussage falsch ist. Augenzwinkern

24.10.2014, 12:00

Pokerstar

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von Pokerstar
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} (\frac{1}{2}) ^{n} > 0 \end{eqnarray*}$

Oh ha

Wollte eigentlich ausdrücken, dass $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{2})^{n} > 0 \end{eqnarray*}$ und somit immer noch "etwas" von der Gewinnwahrscheinlichkeit abgezogen wird. Aber da ich ja über den Limes gehen muss, ist mein Ansatz wohl falsch...

Könnte mir denn jemand nen guten Ansatz liefern?

24.10.2014, 12:02

HAL 9000

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Es ist $\begin{align*} P(E)=0 \end{align*}$ , ansonsten sind deine Betrachtungen doch richtig.

24.10.2014, 12:11

Pokerstar

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Zitat:

Original von HAL 9000
Es ist $\begin{align*} P(E)=0 \end{align*}$ , ansonsten sind deine Betrachtungen doch richtig.

Ok, vielen Dank!

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