Minimalpolynom

24.10.2014, 00:49	Donka	Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom Meine Frage: Hi, ich soll zeigen , dass wenn eine Matrix reelle Einträge besitzt, dass dann auch die Koeffizienten des minimalpolynoms ebenfalls reell sind . Vielleicht kann mir jemand einen Ansatzpunkt geben ? vielen dank Meine Ideen: Hatte mir überlegt über das charakteristische Polynom zu gehen sitze aber fest
25.10.2014, 19:51	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du meinst wahrscheinlich präzise ausgedrückt, dass das Minimalpolynom über $\begin{align} \mathbb C \end{align}$ reelle Koeffizienten hat. Letztendlich ist ja folgendes zu zeigen: Die beiden Faktoren $\begin{align} (t-\lambda) \end{align}$ und $\begin{align} (t-\bar \lambda) \end{align}$ treten im Minimalpolynom mit dem selben Exponent auf. Dann ist klar, dass das Minimalpolynom in $\begin{align} \mathbb R[t] \end{align}$ liegt. Der Exponent eines Linearfaktors im Minimalpolynom hängt nur von den Dimensionen der Haupträume ab. Wenn man also $\begin{align} \dim Kern(A-\lambda)^v = \dim Kern(A- \bar \lambda)^v \end{align}$ für alle $\begin{align} v \in \mathbb N \end{align}$ zeigt, ist man fertig.

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