Beweis zu sigma-Algebra

24.10.2014, 01:11

Namenloser324

Beweis zu sigma-Algebra

Aufgabe:

Zitat:

Es sei X ein metrischer Raum, dessen offene Teilmengen eine sigma-Algebra bilden. Zeigen Sie, dass jede Teilmenge von X offen ist. Hinweise: Zeigen Sie dass jede Punktmenge von X offen ist. (4 Punkte)

Mein Beweis sei hier skizziert (habe es auf Papier noch präzisiert, der Gedankengang soll nur kontrolliert werden):

Die offenen Teilmengen bestehen aus Punktmengen d.h. aus Mengen der Form {x}, denn wähle man eine offene Teilmenge T, so gehört diese zur sigma-Algebra. Wähle man nun ein t aus T aus und betrachte eine Umgebung U(t) die hinreichend klein ist, so dass sie komplett in T liegt (muss existieren, da T offen ist).

Nun kann man eine Folge von Umgebungen um t wählen, die alle Untermengen von einander sind. (d.h. ihr Radius nimmt beständig ab und geht gegen Null)
Da der abzählbar unendlich Durchschnitt wiederum in der Sigma-Algebra liegt und dieser für die eben konstruierte Folge von Mengen gerade {t} ergibt bestehen also die offenen Mengen der sigmaalgebra aus lauter Punktmengen (bzw. aus Vereinigungen eben dieser).

Nun betrachte man die Vereinigung aller nicht offenen Teilmengen S von X.
Da diese nicht offen ist gibt es ein Element s in S, für welches in jeder Umgebung U(s) ein Element x aus X aber nicht aus S liegt. Da aber dies Teil der offenen Teilmengen sein muss, diese aber aus Punktmengen besteht, kann dies nicht sein (denn die Punktmengen sind offen und daher existiert ein Radius um diese in welchem sich keine anderen Punkte befinden).

Also kann S nicht existieren. Also sind alle Teilmengen von X offen.
QED.

Ok? Wie gesagt habe ich die Umgebungsdinger noch präzisiert mit entsprechenden Radiusfolgen und ähnlichem.

24.10.2014, 02:24

Guppi12

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das ist leider sehr wirr. Was genau meinst du mit "Die offenen Teilmengen bestehen aus Punktmengen". Denn das, was du danach schreibst, macht wenig Sinn.

Danach nimmst du dir eine offene Menge $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ und dann ein $\begin{eqnarray*} t\in T \end{eqnarray*}$ um zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \{t\} \end{eqnarray*}$ offen ist. Wieso? Wozu brauchst du $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ dafür überhaupt ? Das Argument, warum man immer kleinere Umgebungen wählen kann, macht so auch keinen Sinn. Dass das geht, begründest du mit deinem $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , das stimmt aber nicht. Dafür braucht man die Metrik, die du an dieser Stelle nicht erwähnst.

Den Schluss, den du daraus ziehst, verstehe ich auch nicht.

Zitat:

... bestehen also die offenen Mengen der sigmaalgebra aus lauter Punktmengen (bzw. aus Vereinigungen eben dieser).

Was soll das bedeuten? Falls du damit meinst, dass man jede offene Menge, als Vereinigung von offenen Mengen der Form $\begin{eqnarray*} \{t\} \end{eqnarray*}$ schreiben kann, so bringt dich das nicht weiter, denn damit hast du ja nur gezeigt, dass offene Mengen offen sind.

Weiter hier:

Zitat:

Nun betrachte man die Vereinigung aller nicht offenen Teilmengen S von X. Da diese nicht offen ist [...]

Dieser Schluss ist falsch. Die Vereinigung nicht offener Mengen kann offen sein. Der Schluss wird aber auch garnicht benötigt. Man kann direkt zeigen, dass alle Teilmengen offen sind. Dann braucht man garnicht mehr, dass es keine nicht offenen Mengen gibt.

So jetzt etwas, was dich weiter bringt: Löse dich von deinem $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ , das brauchst du nicht. Zeige mit Hilfe der Metrik, dass jede Menge $\begin{eqnarray*} \{x\} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x\in X \end{eqnarray*}$ offen ist. Das geht schon so, wie du meinst, aber für das Finden der Umgebungsfolge, deren Schnitt du betrachtest, solltest du die Metrik erwähnen. Jetzt kannst du weiter verwenden, dass Vereinigungen offener Mengen offen sind. Du müsstest also nur noch eine Möglichkeit finden, eine beliebige Teilmenge von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ als Vereinigung von Mengen der Bauart $\begin{eqnarray*} \{x\} \end{eqnarray*}$ zu schreiben.

24.10.2014, 02:45

Namenloser324

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, vielen Dank für deine Mühe. Ich schau mir das morgen genauer an und versuch es dann nochmal! Schreibe hier dann spätestens übermorgen rein!

Neue Frage »

Antworten »

Beweis zu sigma-Algebra

Verwandte Themen