Übergang zur Supremumsnorm - Abschätzung

24.10.2014, 09:33

r4ndom19

Übergang zur Supremumsnorm - Abschätzung

Hallo,

ich habe eine Cauchy Folge von Folgen, d.H.:
$\begin{eqnarray*} \sup_{n\in \mathbb N }| x^{k} _{n} -x^{j} _{n} | < \epsilon \end{eqnarray*}$
für k,j hinreichend groß.
Und ich weiß, das die Folge für jedes n aus N konvergiert, also
$\begin{eqnarray*} | x^{k} _{n} -x^{*} _{n} | < \epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k(n) \leq k \end{eqnarray*}$

Ich wüsste nun gern ob ich folgendes machen kann:
$\begin{eqnarray*} \lim_{j \to \infty } \sup_{n\in \mathbb N }| x^{k} _{n} -x^{j} _{n} |\leq \epsilon<br /> <=><br /> \sup_{n\in \mathbb N }| x^{k} _{n} -x^{*} _{n} |\leq \epsilon<br /> <br /> \end{eqnarray*}$
Es bezeichne dabei x*_n dabei den Grenzwert für jedes n aus N.

Ich bin der Meinung dies ist möglich, da $\begin{eqnarray*} \sup_{n\in \mathbb N }| x^{k} _{n} -x^{j} _{n}<\epsilon \end{eqnarray*}$ im Prinzip eine Folge ist die nach oben Beschränkt ist. Der Übergang zum Limes kann daraus höchstens eine Ungleichung machen.
Da aber ein Supremum davor steht, bin ich mir nicht ganz sicher.

24.10.2014, 10:21

bijektion

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Was ist das denn für eine Folge? $\begin{eqnarray*} (x_n^{(k)})_k \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (x_n^{(k)})_n \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Und ich weiß, das die Folge für jedes n aus N konvergiert, also

Ist $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ fest und für beliebiges $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |x_n^{(k)}-x_n^*|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ ?

24.10.2014, 10:52

r4ndom19

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Zitat:

Original von bijektion
Was ist das denn für eine Folge? $\begin{eqnarray*} (x_n^{(k)})_k \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (x_n^{(k)})_n \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Und ich weiß, das die Folge für jedes n aus N konvergiert, also

Ist $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ fest und für beliebiges $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} |x_n^{(k)}-x_n^*|<\varepsilon \end{eqnarray*}$ ?

Nein, k ist nicht fest, sondern hängt vom jeweiligen n ab. Aber für ein festes n und k=k(n) hinreichend groß gilt das.

Die Folge ist $\begin{eqnarray*} (x_n^{(k)})_k \end{eqnarray*}$ Also man hat eine gegebene Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_n \end{eqnarray*}$ und jedes Folgeglied bildet wiederum eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n^{(k)})_k \end{eqnarray*}$

24.10.2014, 14:03

URL

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$\begin{eqnarray*} \sup_{n\in \mathbb N }| x^{k} _{n} -x^{j} _{n} | < \epsilon \end{eqnarray*}$ für k,j hinreichend groß heißt doch:

Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ gibt es $\begin{eqnarray*} K_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ so dass
$\begin{eqnarray*} | x^{k} _{n} -x^{j} _{n} | < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} {n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k,j\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k,j\geq K_0 \end{eqnarray*}$ .
Daran sieht man zunächst, dass jede Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge und somit konvergent ist und daraus folgt dann unmittelbar
$\begin{eqnarray*} | x^{k} _{n} -x^{*} _{n} | \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} {n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\geq K_0 \end{eqnarray*}$
also auch
$\begin{eqnarray*} \sup_{n\in \mathbb N }| x^{k} _{n} -x^{*} _{n} | \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\geq K_0 \end{eqnarray*}$

25.10.2014, 19:08

r4ndom19

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Zitat:

Original von URL
$\begin{eqnarray*} \sup_{n\in \mathbb N }| x^{k} _{n} -x^{j} _{n} | < \epsilon \end{eqnarray*}$ für k,j hinreichend groß heißt doch:

Für alle $\begin{eqnarray*} \epsilon >0 \end{eqnarray*}$ gibt es $\begin{eqnarray*} K_0\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ so dass
$\begin{eqnarray*} | x^{k} _{n} -x^{j} _{n} | < \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} {n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k,j\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k,j\geq K_0 \end{eqnarray*}$ .
Daran sieht man zunächst, dass jede Folge $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine Cauchyfolge und somit konvergent ist und daraus folgt dann unmittelbar
$\begin{eqnarray*} | x^{k} _{n} -x^{*} _{n} | \leq \epsilon \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} {n\in \mathbb N } \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k\geq K_0 \end{eqnarray*}$

Hier in dem Schritt war ich mir eben nicht sicher. Darf man das mal einfach so machen? Immerhin kann der Index ab dem diese Relation erfüllt ist größer als $\begin{eqnarray*} K_0 \end{eqnarray*}$ sein. Oder funktioniert dies weil du zu einer kleiner gleich Relation übergangen bist? (Also quasi Durchführung eines Grenzübergangs)

25.10.2014, 19:17

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Ja, Grenzübergang.
Du kannst auch bei festem n,k die Differenzfolge mit den Gliedern $\begin{eqnarray*} d_j:=|x_n^k-x_n^j| \end{eqnarray*}$ betrachten. Dann weißt du, dass die Folge konvergiert und $\begin{eqnarray*} d_j<\epsilon \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} j\geq K_0 \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} \lim d_j \leq \epsilon \end{eqnarray*}$

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