komplexe exp(z)

24.10.2014, 12:14

winki2008

3. Bsp.: Vollständige Induktion/Binomischer Lehrsatz/komplexe exp(z)

Hallo.

Ich hab gleich alle 3 Bsp. hochgeladen, weil sie nicht sehr lange sind und mir ein wenig Schwierigkeiten bereiten.

Zu Bsp 21) hab ich bis jetzt folgendes erarbeitet: $\begin{eqnarray*} n,k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\geq k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=k}^{n} \frac{1}{j} {j\choose k}=\frac{1}{k} {k\choose k}+\frac{1}{k+1} {k+1\choose k}+...+\frac{1}{n-1} {n-1\choose k}+\frac{1}{n} {n\choose k}=\frac{1}{k} {n\choose k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=k}^{n+1} \frac{1}{j} {j\choose k}=\frac{1}{k} {k\choose k}+\frac{1}{k+1} {k+1\choose k}+...+\frac{1}{n-1} {n-1\choose k}+\frac{1}{n} {n\choose k}+\frac{1}{n+1} {n+1\choose k}=\frac{1}{k} {n+1\choose k} \end{eqnarray*}$

Induktionsanfang: n=k

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=k}^{k} \frac{1}{j} {j\choose k}=\frac{1}{k}{k\choose k}\Leftrightarrow \frac{1}{k}{k\choose k} \end{eqnarray*}$ WAHRE AUSSAGE

INDUKTIONSSCHRITT A(n) -> A(n+1)

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=k}^{n+1} \frac{1}{j} {j\choose k}=\sum\limits_{j=k}^{n} \frac{1}{j} {j\choose k}+\frac{1}{n+1} {n+1\choose k}=\frac{1}{k} {n\choose k}+\frac{1}{n+1} {n+1\choose k} \end{eqnarray*}$

die Aussage stimmt weil der Induktionsschritt mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} {n+1\choose k} \end{eqnarray*}$ übereinstimmt (wenn ich es in Taschenrechner eingebe)...allerdings weiß ich nicht wie man dort am einfachsten hinkommt.

Ich glaube ich muss so Sätze anwenden wie:

$\begin{eqnarray*} {n\choose k} +{n\choose k+1} ={n+1\choose k+1} \end{eqnarray*}$
und vielleicht die Summe bei (k+1) anfangen lassen, aber ich komme eben nicht genau zum gewünschten Ergebnis hin. Vielleicht könnt ihr mir einen Tipp geben

Bsp 22)

a)
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} (-1)^k {n\choose k}=(y+x)^n=0 \end{eqnarray*}$

Ich setze: y=1 x=-1....

$\begin{eqnarray*} (1-1)^n=0 \end{eqnarray*}$ wahre Aussage

Stimmt das?

b) $\begin{eqnarray*} n\geq 2; x\geq 0 \end{eqnarray*}$ sieht ähnlich aus wie die Bernoulli Ungleichung

Beweise: $\begin{eqnarray*} (1+x)^n\geq 1+\frac{n^{2} }{4} x² \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n=\sum\limits_{k=0}^{n} (x)^k {n\choose k} \end{eqnarray*}$

Ich weiß nicht ganz wie ich hier das Lösen sollte.

Angenommen ich setze x=1 dann bekomme ich $\begin{eqnarray*} 2^{n} \end{eqnarray*}$

Dies ist nichts anderes, als wenn man die Summe der n-ten Zeile im PascalschenDreieck bildet...Aber wie soll ich die Ungleichung mit dem Binomischen Lehrsatz beweisen...mit vollständiger Induktion wäre dies viel angenehmer?

23)

$\begin{eqnarray*} z=a+bi \end{eqnarray*}$ (in kartesischen Koordinaten)

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{ a^{2} + b^{2} } cos(\varphi)=\frac{a}{r} sin(\varphi)=\frac{b}{r} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{z} =e^{a+bi} =e^{cos(\varphi)r+i sin(\varphi)r} =e^{r(cos(\varphi)+i sin(\varphi))} \end{eqnarray*}$

okay, exp(z) habe ich somit bewiesen, dass sie periodisch ist, oder?....aber was bedeutet die "Negation der Formel"?

Danke für eure Hilfe

[attach]35821[/attach]

24.10.2014, 13:18

HAL 9000

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Zu Bsp 21) Für $\begin{align*} j\geq k\geq 1 \end{align*}$ gilt $\begin{align*} \frac{1}{j} \binom{j}{k} = \frac{1}{k} \binom{j-1}{k-1} \end{align*}$ , das kannst du entweder für deine zu beweisende Aussage

$\begin{align*} \frac{1}{k} \binom{n}{k} + \frac{1}{n+1} \binom{n+1}{k} = \frac{1}{k} \binom{n+1}{k} \end{align*}$

nutzen (im Mittelterm), oder aber gleich für die Gesamtaussage: Die ist dann nämlich äquivalent zu

$\begin{align*} \sum_{j=k}^{n} \binom{j-1}{k-1} = \binom{n}{k} \end{align*}$ ,

was ich (von Indexverschiebungen abgesehen) heute schon mal hier im Board gesichtet habe:

Beweis vollständige Induktion

------------------------------

Bsp 22a) Stimmt zumindest für alle $\begin{align*} n\geq 1 \end{align*}$ , ja.

Bsp 22b) Schätze die Summe nach unten ab durch die Summe von nur den beiden Gliedern für k=0 und k=2, dann steht da zunächst

$\begin{align*} (1+x)^n \geq \binom{n}{0}x^0 + \binom{n}{2}x^2 = 1 + \frac{n(n-1)}{2}x^2 \end{align*}$

(überleg dir selbständig, wieso man den Mittelterm zu dem Term ganz rechts umschreiben kann), und das kannst du dann weiter abschätzen hin zu deiner Behauptung.

Bsp 23) Inwiefern hast du damit bewiesen, dass $\begin{align*} z\mapsto e^z \end{align*}$ periodisch ist??? Du musst zeigen, dass es eine komplexe Zahl $\begin{align*} T \end{align*}$ gibt, so dass

$\begin{align*} e^{z+T} = e^z \end{align*}$ für alle $\begin{align*} z\in\mathbb{C} \end{align*}$

gilt - am besten gibst du ein solches $\begin{align*} T \end{align*}$ direkt an!

24.10.2014, 17:00

winki2008

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Danke für deine Antwort.

Bsp 21) konnte ich mit dem Ansatz dann doch lösen. Danke

Bsp 22)b) hab ich so gelöst:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq {n\choose 0} x^0 +{n\choose 2} x^2=1+\frac{n(n-1)}{2!} x^2=1+\frac{n²-n}{2} x^2=1+\frac{2n^2}{4} x^2-\frac{n}{2} x^2=1+ \frac{n^2}{4} x^2+\frac{n^2}{4} x^2-\frac{n}{2} x^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt beweise ich mittels vollständiger Induktion: x>=0, n>=2

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{4} x^2-\frac{n}{2} x^2\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{4} x^2 \geq \frac{n}{2} x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{4} \geq \frac{n}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{4} \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

A(n=2)

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{4} \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ WAHRE AUSSAGE

A(n)->A(n+1)

$\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{4} \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{4} +\frac{1}{4} \geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ WAHRE AUSSAGE

Es folgt:

$\begin{eqnarray*} 1+ \frac{n^2}{4} x^2+\frac{n^2}{4} x^2-\frac{n}{2} x^2\geq 1+ \frac{n^2}{4} x^2 \end{eqnarray*}$

Kann man das so machen??

Zu Bsp. 23)

Es gibt eine Funktion T

$\begin{eqnarray*} e^{z+T} =e^{z} \end{eqnarray*}$

nämlich wenn $\begin{eqnarray*} T=2i\pi \end{eqnarray*}$

und wie geht es jetzt weiter? danke

24.10.2014, 17:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von winki2008
Jetzt beweise ich mittels vollständiger Induktion: x>=0, n>=2

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{4} x^2-\frac{n}{2} x^2\geq 0 \end{eqnarray*}$

Kann man so machen, man kann ja auch mit Kanonen auf Spatzen schießen... smile

Die linke Seite etwas umgeschrieben lautet diese Behauptung

$\begin{align*} \frac{n(n-2)}{4} x^2\geq 0 \end{align*}$ ,

was angesichts der Voraussetzung $\begin{align*} n\geq 2 \end{align*}$ unmittelbar klar sein sollte (alle Faktoren links sind nichtnegativ, also auch deren Produkt).

Zitat:

Original von winki2008
Es gibt eine Funktion T

$\begin{eqnarray*} e^{z+T} =e^{z} \end{eqnarray*}$

nämlich wenn $\begin{eqnarray*} T=2i\pi \end{eqnarray*}$

Wieso schreibst du "Funktion" ? Es ist hier nötig, dass es eine (von z unabhängige) Konstante ist. Die Wahl $\begin{align*} T=2i\pi \end{align*}$ ist passend. Freude

Wie's weiter geht? Meinst du das mit der "Negation der Aussage"? Na dann negiere halt die Aussage

$\begin{align*} \exists T\in\mathbb{C}\setminus\{0\} \quad \forall z\in\mathbb{C}:\; e^{z+T} = e^z \end{align*}$

zur Periodizität (selten dämliche Aufgabenstellung übrigens).

24.10.2014, 18:29

winki2008

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Ja, man kann es sich auch schwer machen^^

Also die Aussage lautet:

$\begin{eqnarray*} \exists T \in \mathbb C \setminus \left(0\right) \forall z \in \mathbb C: e^{z+T} =e^{z} \end{eqnarray*}$

und die Negation lautet dann?

$\begin{eqnarray*} \forall T \in \mathbb C \setminus \left(0\right) \exists z \in \mathbb C: e^{z+T} \neq e^{z} \end{eqnarray*}$

stimmt das?

Inwiefern ist dieses Beispiel lehrreich?

24.10.2014, 18:40

HAL 9000

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Ja, stimmt so.

Zitat:

Original von winki2008
Inwiefern ist dieses Beispiel lehrreich?

Das frag mal den Aufgabensteller (ich hab meine Meinung dazu oben ja schon geäußert).

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3. Bsp.: Vollständige Induktion/Binomischer Lehrsatz/komplexe exp(z)

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