Fourier-Koeffizienten und Fourier-Reihe

24.10.2014, 12:56

mathe712

Fourier-Koeffizienten und Fourier-Reihe

Hi,
habe Probleme mit dieser Aufgabe unglücklich

Es handelt sich zwar um eine Elektrotechnik Aufgabe das Problem ist aber eher mathematisch.

Aufgabe:
Die folgende Abbildung zeigt ein Spannungssignal mit der Amplitude A. Das Signal
hat eine Frequenz $\begin{eqnarray*} f_{Sig} \end{eqnarray*}$ von 50 Hz.

Es sollen die Fourier-Koeffizienten berechnet werden und anschließend die Fourier-Reihe aufgestellt werden.

Idee:
Das Bild sieht punktsymmetrisch aus. --> ungerade Funktion
$\begin{eqnarray*} a_0=0 \end{eqnarray*}$ (keine Kosinusanteile)
$\begin{eqnarray*} a_n=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n= \frac{2}{T} \int_0^T \! f(t)sin(n\omega t) \, dt \end{eqnarray*}$ (allgemeine Formel)

$\begin{eqnarray*} b_n= 2* \frac{2}{T} \int_{T/8}^{(3T)/8} \! A*sin(n\omega t) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n= \frac{4A}{T} \int_{T/8}^{(3T)/8} \! sin(n\omega t) \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n= \frac{4A}{T}* \frac{1}{n\omega }*\left[-cos(n \omega t)\right]_{T/8}^{(3T)/8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n= \frac{4A}{T}* \frac{1}{n\omega }* [(-cos(n \omega \frac{3T}{8} ))-( -cos(n \omega \frac{T}{8} ))] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \omega=\frac{2\pi}{T} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n= \frac{4A}{T}* \frac{1}{n \frac{2\pi}{T} }* [(-cos(n \frac{2\pi}{T} \frac{3T}{8} ))-( -cos(n \frac{2\pi}{T} \frac{T}{8} ))] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n= \frac{4A}{T}* \frac{T}{2 \pi n }* [(-cos(n \frac{2\pi}{T} \frac{3T}{8} ))-( -cos(n \frac{2\pi}{T} \frac{T}{8} ))] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_n= \frac{2A}{ \pi n }* [(-cos(n \frac{3 \pi}{4} ))-( -cos(n \frac{\pi}{4} ))] \end{eqnarray*}$

für gerade bn gilt:
$\begin{eqnarray*} b_n= 0 \end{eqnarray*}$

für ungerade bn gilt:
$\begin{eqnarray*} b_n= ? \end{eqnarray*}$

n=1 -->b= $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
n=3 -->b= $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$
n=5 -->b= $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
n=7 -->b= $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$
n=9 -->b= $\begin{eqnarray*} ... \end{eqnarray*}$

24.10.2014, 13:10

klarsoweit

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RE: Fourier-Koeffizienten und Fourier-Reihe

Zitat:

Original von mathe712
für gerade bn gilt:
$\begin{eqnarray*} b_n= 0 \end{eqnarray*}$

für ungerade bn gilt:
$\begin{eqnarray*} b_n= ? \end{eqnarray*}$

Du meinst vermutlich gerade bzw. ungerade n. Und was war jetzt die Frage?

24.10.2014, 13:19

mathe712

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Meine Frage ist wie man bn ausdrücken kann.
Vielleicht kann man das Kosinus noch kompakter schreiben.

$\begin{eqnarray*} b_n= \frac{2A}{ \pi n }* [(-cos(n \frac{3 \pi}{4} ))-( -cos(n \frac{\pi}{4} ))] \end{eqnarray*}$

für gerade n gilt:
$\begin{eqnarray*} b_n= 0 \end{eqnarray*}$

für ungerade n gilt:
$\begin{eqnarray*} b_n= ? \end{eqnarray*}$

Das gilt nur für die rechte Seite
n=1 -->b= $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
n=3 -->b= $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$
n=5 -->b= $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
n=7 -->b= $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$
n=9 -->b= $\begin{eqnarray*} ... \end{eqnarray*}$ [/quote]

----------------------------------------

24.10.2014, 13:46

URL

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Du könntest $\begin{align*} \cos x-\cos y=2\sin \frac{y+x}{2}\sin \frac{y-x}{2} \end{align*}$ benutzen, aber ob das wirklich schöner ist

24.10.2014, 14:01

Steffen Bühler

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Oder sowas wie $\begin{eqnarray*} b_{4n+1} = (-1)^n \cdot \frac {2A \cdot \sqrt 2}{ \pi (4n+1)} \end{eqnarray*}$

Viele Grüße
Steffen

24.10.2014, 14:39

mathe712

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Ok die Lösung für bn sieht zwar nicht schön aus aber wenn ihr sagt das stimmt so bin ich zufrieden smile

Dann versuche ich jetzt mal die Fourier-Reihe aufzustellen.

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \left[a_n*cos(n \omega t)+ b_n*sin(n \omega t) \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \left[0*cos(n \omega t)+ b_n*sin(n \omega t) \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t)=\frac{0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \left[0*cos(n \omega t)+ b_n*sin(n \omega t) \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t)=\sum\limits_{n=1}^\infty \left[ b_n*sin(n \omega t) \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t)=\sum\limits_{n=1}^\infty \left[ (\frac{2A}{ \pi n }* [(-cos(n \frac{3 \pi}{4} ))-( -cos(n \frac{\pi}{4} ))])*sin(n \omega t) \right] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t)= \frac{2A}{ \pi 1 } \sqrt{2} *sin(1 \omega t)-\frac{2A}{ \pi 3 } \sqrt{2} *sin(3 \omega t) + \frac{2A}{ \pi 5 } \sqrt{2} *sin(5 \omega t)-\frac{2A}{ \pi 7 } \sqrt{2} *sin(7 \omega t) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(t)= \frac{\sqrt{2}*2A}{ \pi } \left[sin(1 \omega t)- \frac{1}{3} *sin(3 \omega t) + \frac{1}{5} *sin(5 \omega t)- \frac{1}{7} * sin(7 \omega t) \right] \end{eqnarray*}$

Das möchte ich jetzt wieder in die Summenschreibweise umwandeln:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{2}*2A}{ \pi } \sum\limits_{n=1}^\infty ... \end{eqnarray*}$

24.10.2014, 15:04

Steffen Bühler

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Nein, Du hast doch die 3., 7., 11. Harmonische und so weiter zu Null berechnet. Nun sind sie plötzlich wieder da, warum?

Nur die 5., 9., 13. usw. ist vorhanden, mit alternierendem Vorzeichen.

Wie ich bereits schrieb, mein Vorschlag ist

$\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{\sqrt{2}*2A}{ \pi } \sum\limits_{n=0}^\infty (-1)^n \cdot \frac 1 {4n+1} \cdot \sin (4n+1) \omega t \end{eqnarray*}$

24.10.2014, 19:51

mathe712

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Habe nochmal nachgerechnet und einen Fehler gefunden.

Für gerade n gilt:
$\begin{eqnarray*} b_n= 0 \end{eqnarray*}$
das müsste stimmen.

Aber für ungerade n habe ich eine neue Lösung:

Für ungerade n gilt:
$\begin{eqnarray*} b_n= ? \end{eqnarray*}$

Das gilt nur für die rechte Seite
n=1 -->b= $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
n=3 -->b= $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
n=5 -->b= $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
n=7 -->b= $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
n=9 -->b= $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
n=11 -->b= $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
n=13 -->b= $\begin{eqnarray*} -\sqrt{2} \end{eqnarray*}$
n=15 -->b= $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$
n=17 -->b= $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Das führt zu dem Muster: +--++--++--+++--
Also immer 2 minus und dann 2 plus außer am anfang da passt das plus nicht rein.
Wie weit muss man dann die Fourier-Reihe aufstellen das man es erkennen kann reicht das so ?

$\begin{eqnarray*} f(t)= \frac{\sqrt{2}*2A}{ \pi } \left[sin(1 \omega t)- \frac{1}{3} *sin(3 \omega t)- \frac{1}{5} *sin(5 \omega t)+ \frac{1}{7} * sin(7 \omega t)+... \right] \end{eqnarray*}$

28.10.2014, 08:52

Steffen Bühler

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Du hast recht, die Reihe ist so korrekt. Ich hatte das Integral nicht geprüft.

Die Reihe könntest Du so hinschreiben, ich finde, sie ist verständlich. Überleg bei sowas im Zweifel, wie Du es einem Freund erklären würdest.

Viele Grüße
Steffen

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