Produktformel gesucht

24.10.2014, 16:16

formelkopf

Produktformel gesucht

Meine Frage:
Ich muss das Volumen bestimmter Rechtecke bestimmen, auf das wesentliche reduziert suche ich eine Formel für ein Produkt der Form $\begin{eqnarray*} \prod_{j=1}^n (a_j+c) \end{eqnarray*}$ und bin mir nicht sicher ob ich richtig ausmultipliziert habe.
Ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} a_1\cdot\dots\cdot a_n=K \end{eqnarray*}$ und außerdem $\begin{eqnarray*} a_j>0 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} 1\leq j\leq n \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} c>0 \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich komme auf: $\begin{eqnarray*} \prod_{j=1}^n (a_j+c) = K + c^n+ c\cdot \sum_{l = 1}^n \frac{K}{a_l} \end{eqnarray*}$ .

24.10.2014, 16:25

HAL 9000

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Zitat:

Original von formelkopf
Ich komme auf: $\begin{eqnarray*} \prod_{j=1}^n (a_j+c) = K + c^n+ c\cdot \sum_{l = 1}^n \frac{K}{a_l} \end{eqnarray*}$ .

Gleichheit ist da falsch. unglücklich

Du kannst allenfalls in dem Fall $\begin{align*} |c| \ll \min\limits_{j=1,\ldots,n} a_i \end{align*}$ (d.h. sehr kleine Abweichungen $\begin{align*} c \end{align*}$ ) die Näherung

$\begin{align*} \prod_{j=1}^n (a_j+c) = K\cdot \prod_{j=1}^n \left(1+\frac{c}{a_j}\right) \approx K\cdot \left(1+\sum_{j=1}^n \frac{c}{a_j} \right) = K + Kc\sum_{j=1}^n \frac{1}{a_j} \end{align*}$

aufstellen, das entspricht fast deiner Formel (der Unterschied $\begin{align*} c^n \end{align*}$ ist bei der genannten Bedingung eh verschwindend klein, da gibt es viel größere Fehler durch das Weglassen der anderen Zwischenterme).

Mit Landausymbolen würde man schreiben können

$\begin{align*} \prod_{j=1}^n (a_j+c) = K + Kc\sum_{j=1}^n \frac{1}{a_j} + O(c^2) \end{align*}$ für $\begin{align*} c\to 0 \end{align*}$ .

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