Nullstellenrechnung von Polynomen mit Parameter

24.10.2014, 16:20

Michi-261988

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Nullstellenrechnung von Polynomen mit Parameter

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe schon wieder Probleme bei einer ganz tollen Aufgaben.

Wie soll ich dieses Monster denn ausrechnen. Hat jemand einen Tipp?

$\begin{eqnarray*} x^3-\frac{k^2+1}{k} x^2+x \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} k>0 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Soweit bin ich schon...Wobei ich mir mit dem Vorzeichen des Klammerausdrucks unsicher bin. Müsste es nicht negativ sein? Allerdings ist ja k größer Null. Und müsste sich das + Zeichen im ersten Bruch nicht in ein negatives wandeln, weil das negative entfällt? Hmmm....

$\begin{eqnarray*} x=\frac{\frac{k^2+1}{k}\pm \sqrt{\left(\frac{k^2+1}{k} \right)^2 } -4 } {2} \end{eqnarray*}$

Lösung 1 ergibt sich ja bereits durch ausklammern von x und dem Nullproduktsatz.

Nur wie soll ich nicht weiter machen....?

24.10.2014, 16:24

Mathema

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RE: Nullstellenrechnung von Polynomen mit Parameter
Fehlt da nicht was? verwirrt

verwirrt

edit: Ahh Überschrift nicht genau gelesen. Geht um Nullstellen.

24.10.2014, 16:26

Michi-261988

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RE: Nullstellenrechnung von Polynomen mit Parameter
Hab grade noch mal verglichen... Da fehlt nichts, außer bei mir im Kopf. Sitze schon seit gestern dran.... Blöde Aufgabe! böse

böse

traurig

24.10.2014, 16:33

Mathema

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RE: Nullstellenrechnung von Polynomen mit Parameter
Rechne doch mal deinen Radikanden aus. Den kannst du doch vereinfachen und dann die Wurzel ziehen.

24.10.2014, 16:46

Michi-261988

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RE: Nullstellenrechnung von Polynomen mit Parameter

Zitat:

Original von Mathema
Rechne doch mal deinen Radikanden aus. Den kannst du doch vereinfachen und dann die Wurzel ziehen.

Meinst du so...?

$\begin{eqnarray*} \frac{k^4+2k^2+1}{k^2} -4 \end{eqnarray*}$

Und nun die Wurzel...

$\begin{eqnarray*} \frac{k^2-2k+1}{k} \end{eqnarray*}$

24.10.2014, 16:50

Mathema

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RE: Nullstellenrechnung von Polynomen mit Parameter
Ich verstehe nicht ganz wie du da die Wurzel gezogen hast? verwirrt

verwirrt

Schreiben wir doch erstmal auf einen Bruch:

$\begin{eqnarray*} \frac{k^4+2k^2+1-4k^2}{k^2} \end{eqnarray*}$

Kannst du nun den Zähler zusammenfassen und wieder als Klammerquadrat schreiben, sodass wir aus Zähler und Nenner die Wurzel ziehen können?

edit: Jetzt verstehe ich es glaube ich doch. Du hast anscheinend einfach aus allen Summanden die Wurzel gezogen. Das geht natürlich nicht!

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24.10.2014, 17:12

matheKing37

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Ich will nicht stören, aber muss das nicht

$\begin{eqnarray*} x=\frac{k^2+1}{k}\pm \sqrt{\left(\frac{k^2+1}{k} \right)^2 -1 } \end{eqnarray*}$

sein?

Denn bei der Wurzel
$\begin{eqnarray*} x=\frac{\frac{k^2+1}{k}\pm \sqrt{\left(\frac{k^2+1}{k} \right)^2 } -4 } {2} \end{eqnarray*}$
kann man die Zahl nicht rausziehen und somit -4 raus machen.

24.10.2014, 17:12

Michi-261988

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RE: Nullstellenrechnung von Polynomen mit Parameter

Zitat:

Original von Mathema
Ich verstehe nicht ganz wie du da die Wurzel gezogen hast? verwirrt

verwirrt

Schreiben wir doch erstmal auf einen Bruch:

$\begin{eqnarray*} \frac{k^4+2k^2+1-4k^2}{k^2} \end{eqnarray*}$

Kannst du nun den Zähler zusammenfassen und wieder als Klammerquadrat schreiben, sodass wir aus Zähler und Nenner die Wurzel ziehen können?

edit: Jetzt verstehe ich es glaube ich doch. Du hast anscheinend einfach aus allen Summanden die Wurzel gezogen. Das geht natürlich nicht!

Vielen Dank für deine Hilfe!

Die Lösungen müssten
0, k und (1/k) sein :-*

Kannst du das mit den Vorzeichen erklären? Beim einsetzen in die Lösungsformel wird aus minus mal minus gleich plus. Müsste sich somit nicht auch die +1 in -1 wandeln? Also beim ersten Bruch

24.10.2014, 17:16

Michi-261988

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Zitat:

Original von matheKing37
Ich will nicht stören, aber muss das nicht

$\begin{eqnarray*} x=\frac{k^2+1}{k}\pm \sqrt{\left(\frac{k^2+1}{k} \right)^2 -1 } \end{eqnarray*}$

sein?

Denn bei der Wurzel
$\begin{eqnarray*} x=\frac{\frac{k^2+1}{k}\pm \sqrt{\left(\frac{k^2+1}{k} \right)^2 } -4 } {2} \end{eqnarray*}$
kann man die Zahl nicht rausziehen und somit -4 raus machen.

Mit den binomischen Formel bekommt man das Absolutglied in die Klammer, also $\begin{eqnarray*} (k^2-1)^2 \end{eqnarray*}$ und damit kann man die Wurzel ziehen

24.10.2014, 17:20

Mathema

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RE: Nullstellenrechnung von Polynomen mit Parameter

Zitat:

Die Lösungen müssten
0, k und (1/k) sein :-*

Was das Bild für k = 2 bestätigen sollte Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Kannst du das mit den Vorzeichen erklären? Beim einsetzen in die Lösungsformel wird aus minus mal minus gleich plus. Müsste sich somit nicht auch die +1 in -1 wandeln? Also beim ersten Bruch.

Die Frage verstehe ich nicht ganz. Könntest du probieren sie noch einmal anders zu stellen?

24.10.2014, 17:24

matheKing37

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Trotzdem muss bei $\begin{eqnarray*} x=\frac{\frac{k^2+1}{k}\pm \sqrt{\left(\frac{k^2+1}{k} \right)^2 } -4 } {2} \end{eqnarray*}$ was falsch sein:

ich könnte mit dem $\begin{eqnarray*} \sqrt{\left(\frac{k^2+1}{k} \right)^2 } = \frac{k^2+1}{k} \end{eqnarray*}$ bekommen, da k ja positiv.

Und damit wäre x= -2 eine Lösung, was falsch ist!

24.10.2014, 17:24

Mathema

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Zitat:

Original von matheKing37
Ich will nicht stören, aber muss das nicht

$\begin{eqnarray*} x=\frac{k^2+1}{k}\pm \sqrt{\left(\frac{k^2+1}{k} \right)^2 -1 } \end{eqnarray*}$

sein?

Nein - wenn dann wohl eher:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{k^2+1}{2k}\pm \sqrt{\left(\frac{k^2+1}{2k} \right)^2 -1 } \end{eqnarray*}$

Du hast aber Recht, dass Michi die Wurzel zu kurz geraten ist. Die -4 gehört natürlich zum Radikanden.

24.10.2014, 17:32

Michi-261988

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RE: Nullstellenrechnung von Polynomen mit Parameter
Di allgemeine Lösungsformel lautet ja

$\begin{eqnarray*} \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4(ac)} }{2a} \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich $\begin{eqnarray*} -\frac{k^2+1}{k} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} -b \end{eqnarray*}$ einsetzen, also

$\begin{eqnarray*} -(-\frac{k^2+1}{k}) \end{eqnarray*}$

Aber wenn sich das Vorzeichen vor dem Bruch ändert, dann müssten doch auch die anderen Werte ihr Vorzeichen ändern, oder nicht. Also müsste es doch $\begin{eqnarray*} \frac{k^2-1}{k} \end{eqnarray*}$ heißen?

Genauso habe ich den Term in die Wurzel positiv eingesetzt.... Warum ist das nun richtig?

24.10.2014, 17:34

Michi-261988

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Zitat:

Original von Mathema

Zitat:

Original von matheKing37
Ich will nicht stören, aber muss das nicht

$\begin{eqnarray*} x=\frac{k^2+1}{k}\pm \sqrt{\left(\frac{k^2+1}{k} \right)^2 -1 } \end{eqnarray*}$

sein?

Nein - wenn dann wohl eher:

$\begin{eqnarray*} x=\frac{k^2+1}{2k}\pm \sqrt{\left(\frac{k^2+1}{2k} \right)^2 -1 } \end{eqnarray*}$

Du hast aber Recht, dass Michi die Wurzel zu kurz geraten ist. Die -4 gehört natürlich zum Radikanden.

Sorry! Das stimmt Hammer

Hammer

24.10.2014, 17:37

Mathema

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RE: Nullstellenrechnung von Polynomen mit Parameter
Nein dein Bruch ist doch nichts anderes als eine Zahl, für k = 1 z.B. die Zahl 2.
Durch das Minus ändert sich nur das Vorzeichen. Aus -2 wird nun also +2. Die Zahl (also auch dein Bruch) bleibt aber unberührt davon.

24.10.2014, 17:46

Michi-261988

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RE: Nullstellenrechnung von Polynomen mit Parameter

Zitat:

Original von Mathema
Nein dein Bruch ist doch nichts anderes als eine Zahl, für k = 1 z.B. die Zahl 2.
Durch das Minus ändert sich nur das Vorzeichen. Aus -2 wird nun also +2. Die Zahl (also auch dein Bruch) bleibt aber unberührt davon.

Das hab ich noch nicht ganz verstanden unglücklich

unglücklich

du meinst ich könnte den Bruch auch in Klammer setzen und was in der Klammer ist ändertsich ja nicht?

Und in der Wurzel ist der Term positiv weil das Minus durch die Potenz positiv wird?

24.10.2014, 17:48

Mathema

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So ist es!

24.10.2014, 17:50

Michi-261988

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Viiiiielen, vielen Dank! Ich habe mal wieder viel dazu gelernt! Hier bekommt man wirklich immer super Hilfe!

Prost

Prost

24.10.2014, 17:51

Mathema

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Gern geschehen!

Dann mal Prost und einen schönen Abend.

Wink

Wink

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