Welche Elemente sind prim, welche irreduzibel?

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24.10.2014, 16:52	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Elemente sind prim, welche irreduzibel? Meine Frage: Hallo Zusammen, Ich komme bei dieser Aufgaben nicht wirklich weiter: Es sei $\begin{eqnarray} R = Z[\sqrt{5}i]=Z[X]/(X^2 + 5) \end{eqnarray}$ . Welche der folgenden Elemente sind irreduzibel, welche prim? a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) $\begin{eqnarray} \sqrt{5}i \pm 1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Ein Element r ist prim, falls aus r \| ab folgt dass r\|a oder r\|b. Ein Element r ist irreduzibel, falls aus r = ab folgt dass a oder b eine Einheit sind. Zu a) habe ich: Irreduzibilität: 2 = ab, oder mit der Norm: 4 = N(2) = N(a)*N(b), daraus folgt dass N(a) = N(b) = 2 ist (N(a)=1 und N(b)=4 bzw. N(a)=4 und N(b)=1 kann es nicht sein, da sonst a oder b eine Einheit ist). Da aber nun a^2 = b^2 = 2 gelten muss folgt daraus die Irreduzibilität von 2, da dann a und b nicht in Z liegen. Prim: Hier weiss ich nicht genau wie vorgehen... zu b) 3 ist mit der selben Begründung wie oben auch ireduzibel zu c) 5 ist reduzibel (mit a = 0 und b = 1) zu d) 7 ist auch mit der selben Begründung irreduzibel zu e) Hier habe ich keine Ahnung, wäre froh um einen Tipp... Ich wäre froh, wenn mir jemand sagen könnte, wie ich herausfinden kann, ob die Elemente prim sind und ob meine Vermutungen bisher stimmen. Vielen Dank
24.10.2014, 17:13	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Was die Irreduzibilität angeht, hast du das über die Norm schon ganz gut gemacht. Ob die Zahlen dann auch prim sind, findest du heraus, wenn du mal den Quotienten berechnest. Zur e) Die Irreduzibilität kannst du wieder über die Norm herausfinden. Bedenke hier auch, dass ein Primelement immer Norm p oder p^2 für eine Primzahl p hat.
24.10.2014, 18:02	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die schnelle Antwort! Wie meinst du das mit dem Quotienten berechnen? Welchen Quotienten? Sorry ich verstehe das Thema momentan noch nicht wirklich^^ zu e) Da habe ich mit der Norm herausbekommen, dass entweder N(a)=2, N(b) = 3 oder N(a)=3 oder N(b) = 2 gilt. Da 2 und 3 keine Quadrate ganzer Zahlen sind, sind beide Elemente irreduzibel. Stimmt das soweit?
24.10.2014, 18:15	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Irreduzibilität passt. Ein Ideal $\begin{align} \mathfrak p \subset R \end{align}$ ist ja genau dann prim, wenn $\begin{align} R/\mathfrak p \end{align}$ ein Integritätsbereich ist. Daher solltest du $\begin{align} \mathbb Z[\sqrt{-5}]/(2) \end{align}$ einfach mal ausrechnen, um zu sehen ob 2 prim ist.
24.10.2014, 23:00	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok habs mal versucht. Ein Element ist prim genau dann, wenn es ein Primideal ist. Und ein Primideal ist es genau dann, wenn $\begin{eqnarray} Z[\sqrt{5}i]/(.) \end{eqnarray}$ ein Integritätsbereich ist. zu a) $\begin{eqnarray} Z[\sqrt{5} i]/(2) \cong Z[X]/(2, X^2 + 5) \cong Z/2Z[X]/(X^2 + 5) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = X^2 + 5 = X^2 + 1 = (X+1)^2 \end{eqnarray}$ daraus folgt, dass X + 1 ein Nullteiler ist, somit ist 2 nicht prim. zu b) $\begin{eqnarray} Z[\sqrt{5} i]/(3) \cong Z[X]/(3, X^2 + 5) \cong Z/3Z[X]/(X^2 + 5) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = X^2 + 5 = X^2 + 2 \end{eqnarray}$ Hier habe ich versucht, das selbe zu machen wie in a), komme aber auf keine weitere Zerlegung. Daraus folgere ich, dass 3 prim ist, weil es keine weiteren Nullteiler gibt. zu c) Da 5 reduzibel ist, ist es nicht prim zu d) $\begin{eqnarray} Z[\sqrt{5} i]/(7) \cong Z[X]/(7, X^2 + 5) \cong Z/7Z[X]/(X^2 + 5) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = X^2 + 5 = X^2 - 2 \end{eqnarray}$ Gleich wie in b): 7 ist prim. zu e) hier bin ich wieder etwas überfragt... wie prüfe ich diese Isomorphismen für die Elemente $\begin{eqnarray} \sqrt{5}i \pm 1 \end{eqnarray}$ ?
25.10.2014, 20:04	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
a) ist richtig. Aber sowohl in b) als auch in d) hast du dich vertan, die beiden Polynom zerfallen jeweils. 3 und 7 sind nicht prim. Dann zu e) Hier musst du den Quotient gar nicht berechnen. Wir haben $\begin{align} N(\sqrt{-5} \pm 1) = 6 \end{align}$ , also hat $\begin{align} \mathbb Z[\sqrt{-5}]/(\sqrt{-5} \pm 1) \end{align}$ 6 Elemente und ist somit kein Körper (also kein Integritätsbereich, da jeder endliche Integritätsbereich schon Körper ist). Man könnte den Quotienten aber auch ähnlich wie vorher berechnen: $\begin{align} \mathbb Z[\sqrt{-5}]/(\sqrt{-5} \pm 1) =\mathbb Z[X]/(X^2+5,X \pm 1) = \mathbb Z[X]/(6,X \pm 1) = \mathbb Z/(6) \end{align}$ .
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26.10.2014, 16:20	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für die Antwort! e) macht Sinn, das habe ich verstanden. Was ich aber nicht so ganz sehe, ist die Zerlegung der Polynome von b) und d).... Ich zerbreche mir schon ewig den Kopf darüber, komme aber nicht darauf, wie sie zerfallen... Kannst du mir evtl. einen Tipp geben, wie ich die Zerlegung finde?
26.10.2014, 16:33	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Z.b. in b): Mod 3 ist doch $\begin{align} X^2+2 = X^2-1 \end{align}$ mit offensichtlicher Zerlegung.
26.10.2014, 16:58	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir kommt nur (X + 1)(X - 1) in den Sinn, aber ich sehe nicht so ganz was mir das bringt...
26.10.2014, 17:00	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist doch die Zerlegung. Also ist der Quotient kein Integritätsbereich, also war die Zahl nicht prim. Klar?
26.10.2014, 17:05	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Mir ist nicht so ganz klar wieso daraus folgt, dass der Quotient kein Integritätsbereich ist. Könntest du mir das noch kurz erklären bitte?
26.10.2014, 17:14	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass $\begin{align} K[X]/(f) \end{align}$ genau dann ein Integritätsbereich ist, wenn f irreduzibel ist, solltest du kennen?
26.10.2014, 17:16	Doutzi	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh natürlich Sorry stand wohl etwas auf dem Schlauch... jetzt ist es mir klar, danke

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