Formgerecht math. Beweisen |
| 24.10.2014, 17:09 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Formgerecht math. Beweisen gegeben ist eine Ungleichung und Aufgabe ist es alle Natürlichen Zahlen zu finden, mit welchen die Ungleichung eben zutrifft (ich werde die Ungleichung nicht nennen, weil ich die Aufgabe selber lösen möchte). Die Ungleichung ist sehr simpel, sodass ich alle Natürlichen Zahlen, für die die Ungleichung falsch ist, im Kopf ausmachen kann. Meine Frage ist nun, wie ich es formgerecht Beweise bzw. eben aufs Blatt bringe. Am besten ist, denke ich, die vollständige Fallunterscheidung geeignet. (Wenn nicht, bitte schreien) Ich würde nun zwei Fälle aufschreiben: einmal für alle Zahlen mit welchen die Ungleichung wahr ist und einmal für alle Zahlen mit welchen die Ungleichung falsch ist. Was ja aber der Korrektor dann nicht nachvollziehen kann ist, wie ich auf die Fälle gekommen bin. Er kann ja schlecht in meinen Kopf sehen. Außerdem ist ja nicht jede Ungleichung dermaßen simpel, dass ich direkt Fälle, die wahr sind und Fälle, die falsch sind ausmachen kann. Ich muss doch irgendwie begründen, wie ich auf die Fälle gekommen bin.... Wie stelle ich das am elegantesten an? Vielen Dank 
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| 24.10.2014, 17:14 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Naja, wenn du die Ungleichung nicht nennst kann man nicht abwägen ob es elegantere Methoden gibt, aber versuche es einfach mit Induktion. Das sollte immer fast erster Gedanke sein wenn es eine Aussage über "alle" natürliche Zahlen sein soll.
Eine Fallunterscheidung bei natürlichen Zahlen? Eher wenn du irgendwas mit Beträgen hast, aber wie gesagt, wenn wir nicht wissen was du beweisen willst, kann man nicht konkret werden. Es gibt halt kein Standardverfahren. Oft gibt es viele Möglichkeiten und nur weil etwas "Standard" ist, wie nun mal Induktion, heißt das nicht, dass es am elegantesten ist.
Deshalb solltest du deine Schritte auch kurz kommentieren, ich kann mir auch nicht vorstellen was du gerade mit Fallunterscheidung meinst... |
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| 24.10.2014, 17:18 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aber es gilt doch eben nicht für alle natürlichen Zahlen, da ja gezielt nach Zahlen gefragt ist, für die die Ungleichung gilt, es aber eben Zahlen gibt, für die die Ungleichung nicht gilt. Das meine ich mit Fallunterscheidung: http://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%..._Kontraposition |
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| 24.10.2014, 17:23 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn die Ungleichung nicht für alle natürlichen Zahlen gilt, dann musst du lediglich den Induktionsanfang anpassen, wie bei dieser Ungleichung: 2^n>n^2 Das gilt auch nicht für alle n, aber man kann den Induktionsanfang einfach höher wählen und dann wie gehabt vorfahren. Es muss nicht immer n=1 bzw. n=0 der Anfang sein. |
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| 24.10.2014, 17:29 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und wenn aber beispielsweise die Zahlen, für die die Ungleichung nicht gilt, irgendwo mitten in der Menge der natürlichen Zahlen sind, wie z.B. 4,5 oder 30 und 21? |
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| 24.10.2014, 17:35 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann nimmst du einfach die erste natürliche Zahl ab der es keine Lücke mehr gibt. Um auf mein Beispiel zurück zu kommen: 2^n>n^2 Für 1 ist 2>1 für n=2 4>4 das stimmt nicht für n=3 8>9 stimmt auch nicht für n=4 16>16 stimmt auch nicht n=5 32>25 usw. Ab n=5 gilt die Ungleichung dann immer, auch wenn sie schon für n=1 gilt. Du wählst den Induktionsanfang dennoch für n=5 Alle Werte für die die Ungleichung noch gilt und kleiner als 5 sind kannst du explizit berechnen. |
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| 24.10.2014, 17:56 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
ok danke
Und wie weiße ich nun explizit nach, dass es für alle Zahlen größer 5 gilt? |
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| 24.10.2014, 18:04 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit Induktion. |
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| 24.10.2014, 18:10 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
klar... aber wie genau n+1 kann ich ja nicht schreiben, da ja die Zahlen 2,3,4 dann mit inbegriffen wären , oder doch? |
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| 24.10.2014, 18:18 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann ist also mein Beispiel deine Aufgabe? Naja, eigentlich so wie immer, nur das du bei Ungleichungen für den Induktionsschritt abschätzen musst. Aus welchen Schritten besteht denn das Verfahren der vollständigen Induktion? |
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| 24.10.2014, 18:25 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ist nicht die Aufgabe, aber ähnlich simpel... Ah... Ich hab mir jetzt ein weiteres ähnliches Beispiel angesehen. Ich war der Ansicht, n->n+1 müsste bei 1 oder 0 anfangen. Dann ist alles klar. Nur was ist eigentlich, wenn ich eben nicht abschätzen könnte wann die Ungleichung ungültig ist? Beispielsweise angenommen bei 32.953 gilt die Ungleichung auch nicht... |
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| 24.10.2014, 18:37 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das kommt wohl auch darauf an wie die Ungleichung letztendlich aussieht. Wenn sie zu unhandlich für eine Induktion ist, dann kann man die Ungleichung auch versuchen erstmal durch Umformungen zu zeigen. Schwer da eine Antwort zu finden. Bei dem Beispiel sieht man jedenfalls mit ein wenig Erfahrung über exponential und quadratischen Funktionen, dass das exponentiale Wachstum irgendwann "gewinnen" muss. Die quadratische Funktion ist eher für "kleinere" Funktionswerte im Vorteil. |
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| 26.10.2014, 21:45 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mir fällt es echt schwer das Formgerecht aufzuschreiben... Können wir das mal an einem Beispiel machen? Finde alle natürlichen Zahlen (ink. 0) für die gilt 9n <= 3^n. Was wäre denn hierbei überhaupt die Behauptung? |
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| 26.10.2014, 22:15 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Aus was für Schritten besteht denn eine Induktion? Wende diese an. |
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| 26.10.2014, 22:20 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
...aus dem Induktionsanfang und aus den Induktionsschritten. Aber ich wüsste erstens nicht welche Behauptung ich überhaupt aufstellen soll und zweitens (mal angenommen man wäre sau blöd und hat keine erfahrung, kann also nicht erkennen, dass 3^n schneller als 9n steigt) würde man doch nach dem Induktionsanfang n=1 aufhören, da das Ergebnis nicht wahr ist. |
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| 26.10.2014, 22:25 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du sollst alle n-Werte angeben für die gilt. Jetzt kann ich das natürlich nacheinander ausrechnen. n=0 n=1 ist offensichtlich falsch n=2 ist falsch usw. Nun ist man hier in der unkonfortablen Situation, dass wenn man es nacheinander ausrechnen möchte man wahrscheinlich ein wenig Zeit braucht. Bei unendlich vielen natürlichen Zahlen braucht man bestimmt über ne Woche. Ab einem gewissen n-Wert (was später der Induktionsanfang sein sollte) gilt die Ungleichung aber auch für jedes weitere. Und hier nimmt einem dann die Induktion ab es für jedes einzeln zu berechnen (was auch gar nicht möglich ist). |
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| 26.10.2014, 22:35 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ah. Ok danke. Das Einsetzen von n=0,1,2,3 ist also noch nicht der Induktionsanfang? Was denn dann? Wäre dann n=4 der Induktionsanfang und n+1 für n >= 4 der Induktionsschritt? Die Antwort auf die Aufgabenstellung wäre dann n=0,n>=4, oder wie? |
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| 26.10.2014, 22:42 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, weil wenn du 0 als Induktionsanfang wählen würdest, dann würdest du die Ungleichung auch für n-Werte zeigen, für die es überhaupt nicht stimmt. Das kann nicht passen. Der Induktionsanfang sollte der kleinste n-Wert sein für die die Ungleichung dann "lückenlos" gilt. Du kannst auch schon n=3 als Induktionsanfang wählen. Die Ungleichung würde dann für alle n-Werte und die Null gelten, ja. |
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| 26.10.2014, 23:00 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Damit hat sich dann auch die Frage nach der Behauptung geklärt... Ich bin nur schon wieder auf den nächsten Hänger gestoßen... 
9(n+1) <= 3^(n+1) Wie rechne ich hier weiter? |
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| 26.10.2014, 23:23 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
so sollte es in etwa aussehen. Versuche zu erst die Induktionsvoraussetzung irgendwie anzuwenden. Schätze so lange ab bis du 9(n+1) erhältst. |
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| 26.10.2014, 23:31 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nicht so? Was genau meinst du mit abschätzen? Ich wüsste nichtmal, was nach dem ersten stehen sollte... |
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| 26.10.2014, 23:40 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Da du zeigen möchtest wäre es wahrscheinlich zu erwarten. Ob du oder setzt kannst du dir dann beim abschätzen überlegen. Mit abschätzen meine ich, dass du den Ausdruck genügend verkleinerst, bis du zu 9(n+1) gelangst. Dazu wollen wir im ersten Schritt die Induktionsvoraussetzung anwenden. Wie lautet diese und wie können wir dies erreichen? |
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| 26.10.2014, 23:48 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Induktionsvoraussetzung ist doch das Ableiten der Richtigkeit für A(n+1) aus der Behauptung A(n), oder ...!? |
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| 26.10.2014, 23:49 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das ist der Induktionsschritt. Die Induktionsvoraussetzung ist mehr oder weniger das was du im Induktionsanfang zeigst, nur ein wenig allgemeiner formuliert. |
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| 26.10.2014, 23:54 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In dem Fall zeige ich im Induktionsanfang, dass die Aussage für n=3 wahr ist... Was wäre davon die Verallgemeinerung? |
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| 27.10.2014, 00:08 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was genau zeigst du denn im Induktionsanfang? |
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| 27.10.2014, 00:24 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich denke, wie ich schon sagte, dass die Aussage A(n) für n=3 wahr ist. Nicht mehr und nicht weniger würde ich behaupten... |
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| 27.10.2014, 18:07 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Die Induktionsvoraussetzung wäre: Für beliebiges, aber festes ist Dies wollen wir benutzen um den Induktionsschritt durchzuführen. |
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| 27.10.2014, 20:26 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Und was genau ist mit "abschätzen" gemeint? Was würde denn bei beispielsweise das erste "..." ersetzen? |
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| 27.10.2014, 20:44 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das was ich da hingeschrieben habe soll nur eine sehr grobe "Struktur" darstellen wie es aussehen könnte. Im ersten Schritt solltest du so vereinfachen/zerlegen, dass du die Induktionsvoraussetzung anwenden kannst. Mit dieser gelingt dann auch die erste Abschätzung. Edit: Wenn du überhaupt keine Idee hast wie du vorgehen kannst, dann kannst du dir vielleicht mal diesen Thread hier ansehen, welcher eine recht ähnliche Aufgabe behandelt: erklärungen zur vollständige Induktion für 2^n > n² |
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| 27.10.2014, 21:20 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hab mich jetzt einfach extrem an dein Beispiel gehalten und bin unsicher, ob man das so auf mein Beispiel projezieren kann... Wäre das so korrekt oder habe ich kompletten quatsch gemacht? |
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| 27.10.2014, 21:31 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du solltest verstehen was du tust, sonst bringt es dir nichts auch wenn du keinen Quatsch gemacht hättest. Du projizierst nun mal zu viel. Passe es auf deine Ungleichung an. Gut, warum machst du diesen Schritt? Deine Abschätzungen sind zwar alle korrekt, mit Induktion hat das eigentlich aber weniger zu tun. Viele Abschätzungen fallen auch einfach so vom Himmel, es ist ja überhaupt nicht klar, dass sie gelten. |
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| 27.10.2014, 21:35 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
habe ich gemacht, weil ich nicht weiß was ich sonst aus formen soll 
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| 27.10.2014, 21:37 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ja, aber welches Ziel verfolgen wir denn mit dieser Umformung? |
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| 27.10.2014, 21:40 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
eben hoffentlich irgendwann mal Richtung 9(n+1) zukommen... |
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| 27.10.2014, 21:41 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
In einem Induktionsbeweis wollen wir die Induktionsvoraussetzung verwenden, wie bereits in diesem Thread erwähnt. |
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| 27.10.2014, 21:54 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Es tut mir leid aber ich kann mit das absolut nicht in die Tat umsetzen. Mir fällt es allgemeint sehr schwer "Mathematiker-Deutsch" nachzuvollziehen. In der Physik wird alles viel klarer (vielleicht unpräziser, aber klarer bzw. verständlicher) formuliert. Hinzu kommt vielleicht noch, dass ich bisher noch nie mit Ungleichungen gerechnet habe. Für ein ist Wie soll ich damit nun umformen? |
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| 27.10.2014, 22:02 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Mit Ungleichungen rechnet es sich wie mit Gleichungen, nur auf eins (oder zwei Dinge) musst du achten. Wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst/dividierst dann dreht sich das Relationszeichen Gleiches gilt für Kehrwertbildung: Du hast doch schon "normale" Induktionsaufgaben bearbeitet, oder? Der erste Schritt ist normalerweise das anzuwenden was man im Induktionsschritt berechnet hat. Und nun sag mir was hier passiert ist. Wie geht es jetzt weiter? |
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| 27.10.2014, 22:13 | snickepie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, mit Induktionen habe ich auch kaum Erfahrung... Allgemein habe ich leider kaum Praxis in Mathe. Irgendwann muss ich nur eben damit anfangen... Scheint, als hättest du angewendet, oder hast du bloß eingesetzt? Könnte man jetzt schon sagen, dass ist? |
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| 27.10.2014, 22:20 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Dann schau dir dazu vielleicht erst mal ein paar Videos an. Hier findest du viele Aufgaben mit komplett Lösungen. Dies sollte dir die Induktion näher bringen: http://www.emath.de/Referate/induktion-a...n-loesungen.pdf Auch Ungleichungen sind dort vorhanden.
Das frage ich dich. Mache dir erst noch einmal das Prinzip der vollständigen Induktion klar. Es läuft eigentlich bei solchen Aufgaben immer nach einem sehr ähnlichem Prinzip ab. |
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