Binomialkoeffizient in Summenformel

24.10.2014, 21:10

mathness

Binomialkoeffizient in Summenformel

Hey,

Wir müssen eine vollständige Induktion für eine Summenformel mit Binomialkoeffizienten machen.
Ich habe einen Ansatz, kann diesen jedoch nicht zu Ende führen:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} 2^k = 3^n \\ IA: A(0)= \sum\limits_{k=0}^0 {0 \choose 0} * 2^0=3^0=1 \\ IS: A(n)-->A(n+1) : \\ \sum\limits_{k=0}^{n+1}{n+1 \choose k} 2^k = 3^{n+1}= \\ {n+1 \choose 0} 2^0 + \sum\limits_{k=1}^n {n+1 \choose k} 2^k + {n+1 \choose n+1} 2^{n+1} = \\ 2^{n+1} +1+ \sum\limits_{k=1}^n {n \choose k} 2^k + \sum\limits_{k=1}^n {n \choose k-1} 2^k = \\ (k := j+1) \\ 2^{n+1} + \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} 2^k + \sum\limits_{j=0}^{n-1} {n \choose j} + 2^n -2^n= \\ 2^{n+1} + 3^n + 3^n - 2^n = 3^{n+1}= 2*3^n + 2^n= 3^{n+1} \end{eqnarray*}$

Irgendwo muss mir ein Fehler unterlaufen sein. Wenn ich am ende 3*3^n hätte, wäre es richtig.
Sieht irgendjemand den Fehler?
Danke im Voraus

MfG

24.10.2014, 21:28

10001000Nick1

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RE: Binomialkoeffizient in Summenformel
Willkommen

im Matheboard! smile

Zitat:

Original von mathness
$\begin{eqnarray*} 2^{n+1} +1+ \sum\limits_{k=1}^n {n \choose k} 2^k + \sum\limits_{k=1}^n {n \choose k-1} 2^k = \\ (k := j+1) \\ 2^{n+1} + \sum\limits_{k=0}^n {n \choose k} 2^k + \textcolor{red}{\sum\limits_{j=0}^{n-1} {n \choose j}} + 2^n -2^n \end{eqnarray*}$

Bei der rot markierten Summe ist ein Fehler.

Übrigens geht es hier auch viel schneller und ohne Induktion, wenn du den Binomischen Lehrsatz verwendest (außer es stand ausdrücklich in der Aufgabe, dass die Gleichung mit Induktion bewiesen werden soll). Augenzwinkern

25.10.2014, 18:41

mathness

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Jetzt passt es.
Danke Big Laugh

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