Beweis mit vollständiger Induktion

24.10.2014, 23:13	Aywin	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis mit vollständiger Induktion Guten abend, wir sollen die folgende Aufgabe mit vollständiger Induktion beweißen; $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{i=1}^n i)^2 = \sum\limits_{i=1}^n i^3 \end{eqnarray}$ Dann habe ich mir überlegt dass auch folgendes gelten muss: $\begin{eqnarray} <br /> (\sum\limits_{i=1}^n i)^2 = \left(\frac{(n(n+1)}{2}\right)^2=\sum\limits_{i=1}^n i^3 \end{eqnarray}$ Der Induktionsanfang ist klar und stimmt. Beim Induktionsschritt mit n = n+1 habe ich folgendes gemacht: $\begin{eqnarray} <br /> <br /> (\sum\limits_{i=1}^{n+1} i)^2 = \left(\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}\right)^2=\sum\limits_{i=1}^{n+1} i^3<br /> \end{eqnarray}$ Im nächsten Schritt habe ich n+1 aus Sigma gezogen: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{n+1} i^3 \Rightarrow \sum\limits_{i=1}^{n} i^3 + (n+1)^3 \end{eqnarray}$ Dann die Induktionsannahme verwendet und $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{n} i^3 \end{eqnarray}$ ersetzt: $\begin{eqnarray} <br /> \Rightarrow (\sum\limits_{i=1}^n i)^2 + (n+1)^3\Rightarrow \left(\frac{(n(n+1)}{2}\right)^2 + (n+1)^3<br /> \end{eqnarray}$ Nach dem Umformen komme ich nicht wieder auf: $\begin{eqnarray} \left(\frac{(n+1)((n+1)+1)}{2}\right)^2 \end{eqnarray}$ Meine Frage an euch ist, habe ich bis zum Umformen alles richtig gemacht und der Fehler liegt somit im Umformen oder habe ich schon vorher einen Denkfehler ? Liebe Grüße Aywin
24.10.2014, 23:49	Yakyu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, nein du hast keinen Denkfehler, dafür aber Notationsfehler. Anstatt der Folgerungspfeile müssten Gleichheitszeichen stehen. Und ja du hast bis zur Umformung so weit alles richtig gemacht (abgesehen von der Schreibweise). Durch richtige Umformung kommt man auf die Identität. Schreib deine Umformung hin, dann können wir deinen Fehler schon ausfindig machen. Gruß
25.10.2014, 19:50	Aywin	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich denke ich habe es geschafft, hier meine Lösung $\begin{eqnarray} (\frac{n(n+1)}{2}) ^2 + (n+1)^3<br /> = (\frac{(n^2+n)}{2})^2 + (n^3+3n+3n^2+1) <br /> = \frac{((n^2+n)(n^2+n))}{22} + (n^3+3n+3n^2+1) <br /> = \frac{n^4+2n^3+n^2}{4} + \frac{4n^3+12n^2+12n+4}{4} <br /> = \frac{n^4+6n^3+13n^2+12n+4}{4} <br /> =\frac{(n^2+3n+2)(n^2+3n+2}{4}<br /> =(\frac{n^2+3n+2}{2} )^2 <br /> = (\frac{(n+1)(n+2)}{2})^2<br /> = (\frac{(n+1((n+1)+1)}{2})^2 <br /> \end{eqnarray*}$
25.10.2014, 22:59	Yakyu	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ja sieht gut aus. (Du hast nur ein mal eine ")" vergessen in der 6. Zeile. Ein bisschen Rechenarbeit hättest du dir sparen können wenn du (n+1)² im Zähler ausgeklammert hättest bei der Addition des Bruchs mit (n+1)³. Gruß

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